50 bài toán về thể tích khối chóp (có đáp án 2024) | Toán 12

Thể tích khối chóp và cơ hội giải bài xích tập - Toán lớp 12

Bạn đang xem: 50 bài toán về thể tích khối chóp (có đáp án 2024) | Toán 12

Ví dụ 1: Cho khối chóp S. ABC sở hữu SA vuông góc với đáy, SA = 4, AB = 6, BC = 10 và CA = 8. Tính thể tích khối chóp S. ABC.

A. V = 40.

B. V = 192.

C. V = 32.

D. V = 24.

Hướng dẫn giải

Ta sở hữu $A{B}^2+A{C}^2=6^2+8^2={10}^2=B{C}^2$ suy rời khỏi tam giác ABC vuông bên trên A (theo quyết định lý Py – tao – go đảo), vì thế diện tích S tam giác ABC là: $S=\frac{1}{2}AB.AC=\frac{1}{2}\mathrm{.6.8}=24$

Vì SA vuông góc với lòng nên SA là đàng cao của hình chóp.

Do cơ h = SA = 4.

Vậy $V_{SABC}=\frac{1}{3}.SA.S_{ABC}=\frac{1}{3}\mathrm{.4.24}=32$ (đvtt).

Chọn C.

Dạng 2: Khối chóp sở hữu một phía mặt mũi vuông góc với đáy

Xét hình chóp S. ABCD xuất hiện mặt mũi $\left(SAD\right)\perp \left(ABCD\right)$

Đường cao của hình chóp là đàng cao của tam giác SAD. Chứng minh:

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}\left(SAD\right)\perp \left(ABCD\right)\\ \left(SAD\right)\cap \left(ABCD\right)=AD\\ SH\subset \left(SAD\right)\\ SH\perp AD\end{array}\right. \\ \Rightarrow SH\perp \left(ABCD\right) \end{gathered}$$

Đặc biệt nếu như tam giác SAD cân nặng hoặc đều thì đàng cao cũng chính là đàng trung tuyến và đàng phân giác.

$\Rightarrow V_{S.ABCD}=\frac{1}{3}.S_{ABCD}.SH$

Ví dụ 2: Cho hình chóp S. ABC sở hữu lòng ABC là tam giác đều cạnh 2a, tam giác SAB là tam giác đều và nằm trong mặt mũi bằng phẳng vuông góc với mặt mũi lòng. Thể tích khối chóp S. ABC là

A. $V=\frac{a^3}{2}$

B. $V=a^3$

C. $V=\frac{3a^3}{2}$

D. $V=3a^3$

Hướng dẫn giải

Chọn B.

Dạng 3: Thể tích khối chóp đều.

Xét hình chóp tứ giác đều S. ABCD

+) Các mặt mũi mặt là những tam giác cân nặng bên trên S.

+) Đáy ABCD là hình vuông vắn.

+) Đường cao là SO với O là tâm của lòng.

+) Các mặt mũi mặt tạo nên với lòng những góc cân nhau và vị góc SMO (với M là trung điểm của BC).

+) Các cạnh mặt mũi tạo nên với lòng những góc vị nhau:

$$\begin{gathered} \widehat{SAO}=\widehat{SBO}=\widehat{SCO}=\widehat{SDO} \\ \Rightarrow V_{S.ABCD}=\frac{1}{3}{S}_{ABCD}.SO \end{gathered}$$

Chú ý:

a) Với hình chóp tam giác đều tao thực hiện tương tự động.

b) Với tứ diện đều:

Xét tứ diện đều ABCD:

DH là đàng cao của tứ diện đều (Với H là trọng tâm tam giác ABC).

Suy rời khỏi thể tích của khối tứ diện đều ABCD là $V=\frac{1}{3}.S_{ABC}.DH$ .

Ví dụ 3: Cho hình chóp tứ giác đều S. ABCD sở hữu cạnh lòng vị a và cạnh mặt mũi tạo nên với mặt mũi bằng phẳng lòng một góc ${60}^0$ . Tính thể tích của khối chóp S. ABCD.

A. $V=\frac{a^3\sqrt{6}}{2}$

B. $V=\frac{a^3\sqrt{6}}{3}$

C. $V=\frac{a^3\sqrt{3}}{2}$

D. $V=\frac{a^3\sqrt{6}}{6}$

Hướng dẫn giải

Gọi O là tâm hình vuông vắn ABCD, suy rời khỏi $SO\perp \left(ABCD\right)$ .

Hình chóp tứ giác đều sở hữu lòng là hình vuông vắn nên tao sở hữu : $S_{ABCD}=a^2$ và $BD=a\sqrt{2}$ . Suy rời khỏi $BO=\frac{BD}{2}=\frac{a\sqrt{2}}{2}$

Ta sở hữu OB là hình chiếu vuông góc của SB lên trên bề mặt bằng phẳng (ABCD) nên góc thân ái cạnh mặt mũi SB với lòng là góc SBO vị ${60}^0$ .

Suy rời khỏi độ cao SO :

$$\begin{gathered} SO=OB.\tan \widehat{SBO} \\ =\frac{a\sqrt{2}}{2}.\tan {60}^0=\frac{a\sqrt{6}}{2} \end{gathered}$$

Vậy :

$$\begin{gathered} V_{S.ABCD}=\frac{1}{3}.S_{ABCD}.SO \\ =\frac{1}{3}.a^2.\frac{a\sqrt{6}}{2}=\frac{a^3\sqrt{6}}{6} \end{gathered}$$

Chọn D.

Ví dụ 4: Cho khối chóp tam giác đều S. ABC sở hữu cạnh lòng vị a và cạnh mặt mũi vị 2a. Tính thể tích V của khối chóp S. ABC.

A. $V=\frac{\sqrt{13}{a}^3}{12}$

B. $V=\frac{\sqrt{11}{a}^3}{12}$

C. $V=\frac{\sqrt{11}{a}^3}{6}$

D. $V=\frac{\sqrt{11}{a}^3}{4}$

Xem thêm: Tuổi Mậu Dần 1998 Mệnh Gì? Hợp Với Tuổi Gì, Hợp Màu Gì?

Hướng dẫn giải

Gọi O là trọng tâm tam giác ABC suy rời khỏi $SO\perp \left(ABCD\right)$ .

Do lòng là tam giác đều nên gọi I là trung điểm cạnh BC, Khi cơ AI là đàng cao của tam giác lòng.

Ta có: BC = a nên $BI=\frac{a}{2}$ .

Áp dụng quyết định lý Pytago vô tam giác vuông ABI tao có:

$$\begin{gathered} AI=\sqrt{A{B}^2-B{I}^2} \\ =\sqrt{a^2-\frac{a^2}{4}}=\frac{a\sqrt{3}}{2} \end{gathered}$$

Ta có: $AO=\frac{2}{3}AI=\frac{2a\sqrt{3}}{3.2}=\frac{a\sqrt{3}}{3}$ (Do O là trọng tâm tam giác ABC).

Áp dụng quyết định lý Pytago vô tam giác SOA vuông bên trên O tao sở hữu

$$\begin{gathered} SO=\sqrt{S{A}^2-A{O}^2} \\ =\sqrt{4a^2-\frac{a^2}{3}}=\frac{\sqrt{11}a}{\sqrt{3}} \end{gathered}$$

Vậy thể tích khối chóp S. ABC là:

$$\begin{gathered} V=\frac{1}{3}{S}_{ABC}.SO \\ =\frac{1}{3}.\frac{1}{2}a.\frac{a\sqrt{3}}{2}.\frac{\sqrt{11}a}{\sqrt{3}} \\ =\frac{\sqrt{11}{a}^3}{12} \end{gathered}$$

Chọn B.

Dạng 4: Cạnh mặt mũi hoặc mặt mũi mặt tạo nên với lòng một góc $\alpha$ và một trong những Việc khác

Các fake thiết của Việc này khá đa dạng mẫu mã, tuy vậy cơ hội giải của những Việc này ở ở hai bước sau:

+) Cách 1: Xác quyết định được góc trên hình vẽ.

+) Cách 2: gí dụng những hệ thức lượng vô tam giác nhằm tính những nguyên tố cạnh tương quan cho tới độ cao và diện tích S lòng.

Ví dụ 5: Cho hình chóp tam giác S. ABC sở hữu SA = 2a. SA tạo nên với mặt mũi bằng phẳng (ABC) góc $30°$. Tam giác ABC vuông cân nặng bên trên B, G là trọng tâm tam giác ABC. Hai mặt mũi bằng phẳng (SGB), (SGC) nằm trong vuông góc với mặt mũi bằng phẳng lòng. Tính thể tích của khối chóp S. ABC theo đuổi a.

A. $\frac{27a^3}{10}$

B. $\frac{9a^3}{10}$

C. $\frac{9a^3}{40}$

D. $\frac{81a^3}{10}$

Hướng dẫn giải

Xét tam giác ABM vuông bên trên B, có:$A{B}^2+B{M}^2=A{M}^2$ (định lý Py – tao – go)

$$\begin{gathered} \iff A{B}^2+\frac{1}{4}A{B}^2=A{M}^2 \\ \iff \frac{5}{4}A{B}^2=\frac{27a^2}{4} \\ \iff AB=\frac{3a\sqrt{15}}{5} \end{gathered}$$

Vì tam giác ABC vuông cân nặng bên trên B nên:

$$\begin{gathered} BC=BA=\frac{3a\sqrt{15}}{5} \\ {V}_{SABC}=\frac{1}{3}SG.S_{\Delta ABC} \\ =\frac{1}{3}.SG.\frac{1}{2}.BA.BC \\ =\frac{1}{3}a.\frac{1}{2}{\left(\frac{3a\sqrt{15}}{5}\right)}^2=\frac{9a^3}{10} \end{gathered}$$

Chọn B.

III. BÀI TẬP ÁP DỤNG

Câu 1: Cho hình chóp tam giác S. ABC sở hữu lòng ABC là tam giác vuông bên trên A, AB = a, AC = 2a, cạnh mặt mũi SA vuông góc với mặt mũi lòng và SA = a. Tính thể tích V của khối chóp S. ABC.

A. $V=a^3$

B. $V=\frac{a^3}{2}$

C. $V=\frac{a^3}{3}$

D. $V=\frac{a^3}{4}$

Câu 2: Cho hình chóp tam giác S. ABC sở hữu lòng ABC là tam giác đều cạnh a, cạnh mặt mũi SA vuông góc với mặt mũi lòng và SA = a. Tính thể tích V của khối chóp S. ABC.

A. $V=\frac{2a^3}{3}$

B. $V=\frac{a^3\sqrt{3}}{12}$

C. $V=\frac{a^3\sqrt{3}}{3}$

D. $V=\frac{a^3\sqrt{3}}{4}$

Câu 3: Cho hình chóp tứ giác S. ABCD sở hữu lòng ABCD là hình vuông vắn cạnh a, cạnh mặt mũi SA vuông góc với mặt mũi lòng và $SA=a\sqrt{2}$ . Tính thể tích V của khối chóp S. ABCD.

A. $\frac{a^3\sqrt{2}}{6}$

B. $\frac{a^3\sqrt{2}}{4}$

C. $a^3\sqrt{2}$

D. $\frac{a^3\sqrt{2}}{3}$

Câu 4: Cho hình chóp S. ABC sở hữu lòng ABC là tam giác vuông cân nặng bên trên A, BC = 2a. Mặt mặt mũi SBC là tam giác vuông cân nặng bên trên S và nằm trong mặt mũi bằng phẳng vuông góc với lòng. Tính thể tích khối chóp S. ABC.

A. $V=a^3.$

B. $V=\frac{2a^3}{3}.$

C. $V=\frac{\sqrt{2}{a}^3}{3}.$

D. $V=\frac{a^3}{3}.$

Câu 5: Cho hình chóp S. ABCD sở hữu lòng ABCD là hình vuông vắn cạnh $2a\sqrt{3}$, mặt mũi mặt SAB là tam giác đều và nằm trong mặt mũi bằng phẳng vuông góc với lòng. Thể tích của khối chóp S. ABCD là

A. $12a^3$

B. $14a^3$

C. $15a^3$

D. $17a^3$

Câu 6: Cho hình chóp S. ABCD có đáy là hình chữ nhật với AB = 2a, AD = a. Tam giác SAB cân nặng bên trên S và nằm trong mặt mũi bằng phẳng vuông góc với lòng, SC tạo nên với lòng một góc $45°$ . Thể tích khối chóp S. ABCD là

A. $\frac{a^3\sqrt{3}}{2}$

B. $\frac{a^{3}2\sqrt{2}}{3}$

C. $2\sqrt{2}{a}^3$

D. $\frac{2a^3}{3}$

Câu 7: Cho hình chóp tam giác đều S. ABC sở hữu cạnh lòng vị a và độ cao của hình chóp là $a\sqrt{2}$ . Tính theo đuổi a thể tích khối chóp S. ABC.

A. $\frac{a^3\sqrt{6}}{4}$

B. $\frac{a^3\sqrt{6}}{12}$

C. $\frac{a^3}{6}$

D. $\frac{a^3\sqrt{6}}{6}$

Câu 8: Tính thể tích của chóp tam giác đều sở hữu toàn bộ những cạnh đều vị a.

A. $\frac{a^3\sqrt{2}}{12}$

B. $\frac{a^3\sqrt{2}}{4}$

C. $\frac{a^3\sqrt{2}}{6}$

D. $\frac{a^3\sqrt{2}}{2}$

Câu 9: Cho (H) là khối chóp tứ giác đều sở hữu toàn bộ những cạnh vị a. Thể tích của (H) bằng

A. $\frac{a^3\sqrt{3}}{4}$

B. $\frac{a^3\sqrt{3}}{2}$

C. $\frac{a^3}{3}$

D. $\frac{a^3\sqrt{2}}{6}$

Câu 10: Cho hình chóp S. ABC sở hữu diện tích S lòng là 5, độ cao sở hữu số đo cấp 3 lượt diện tích S lòng. Thể tích của khối chóp cơ là

A. $\frac{125}{3}$

B. 125

C. $\frac{25}{3}$

D. 25.

Câu 11: Cho khối chóp S. ABCD sở hữu lòng là hình chữ nhật sở hữu chiều rộng lớn 2a, chiều nhiều năm 3a. Chiều cao của khối chóp là 4a. Thể tích khối chóp S. ABCD tính theo đuổi a là

A. $V=8a^3$

B. $V=24a^3$

C. $V=9a^3$

D. $V=40a^3$ .

Xem thêm: Lan tỏa những hình ảnh đẹp về người chiến sĩ CAND

BẢNG ĐÁP ÁN