Phương trình mặt phẳng trung trực | Lý thuyết, công thức, các dạng bài tập và cách giải

Với tư liệu về Phương trình mặt mũi phẳng lì trung trực bao gồm: lý thuyết và bài bác luyện cũng như các khái niệm, đặc điểm, những dạng bài bác tiếp tục giúp cho bạn nắm rõ kỹ năng và kiến thức và học tập chất lượng tốt môn Toán rộng lớn.

Phương trình mặt mũi phẳng lì trung trực

Bạn đang xem: Phương trình mặt phẳng trung trực | Lý thuyết, công thức, các dạng bài tập và cách giải

1. Mặt phẳng lì trung trực là gì?

Trước tiên tất cả chúng ta nằm trong ôn lại định nghĩa mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng (đã học tập kể từ lớp 11).

Trong không khí mang đến đoạn trực tiếp AB và điểm I là trung điểm của AB. Khi tê liệt tồn bên trên có một không hai một phía phẳng lì (P) trải qua I và vuông góc với đoạn trực tiếp AB. Mặt phẳng lì (P) được gọi là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB.

Phương trình mặt mũi phẳng lì trung trực

Nếu tuyên bố bên dưới dạng quỹ tích thì mặt mũi phẳng lì trung trực là quỹ tích những điểm cơ hội đều nhị điểm mang đến trước.

Như vậy tất cả chúng ta hoàn toàn có thể thấy định nghĩa mặt mũi phẳng lì trung trực cũng tương tự động như định nghĩa lối trung trực của đoạn trực tiếp vô mặt mũi phẳng lì.

2. Cách ghi chép phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng

Từ khái niệm nêu bên trên tao hoàn toàn có thể thấy rằng nếu như (P) là mặt mũi phẳng lì trung trực của đoạn AB. Thì véc tơ AB đó là 1 véc tơ pháp tuyến của mặt mũi phẳng lì (P). Còn trung điểm I của đoạn AB đó là một điểm phía trên mặt mũi phẳng lì (P).

Do tê liệt cơ hội ghi chép phương trình mặt mũi phẳng lì trung trực (P) của đoạn trực tiếp AB như sau:

Bước 1: Tính véc tơ AB là 1 trong véc tơ pháp tuyến của mặt mũi phẳng lì (P). (Cách tính véc tơ AB là lấy tọa phỏng điểm cuối B trừ lên đường tọa phỏng điểm đầu A tương ứng).

Bước 2: Tìm tọa phỏng điểm I là trung điểm của đoạn trực tiếp AB. (Cách dò xét tọa phỏng trung điểm là lấy tọa phỏng điểm A nằm trong tọa phỏng điểm B ứng, xong xuôi phân tách mang đến 2)

Bước 3: Viết phương trình mặt mũi phẳng lì (P) trải qua điểm I nhận véc tơ AB là véc tơ pháp tuyến.

Ví dụ minh họa (Tự luận):

Trong không khí Oxyz, mang đến điểm A(1;2;3) và điểm B(3;6;1). lõi mặt mũi phẳng lì (P) là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB. Hãy ghi chép phương trình tổng quát lác của (P).

Lời giải:

Trung điểm I của đoạn trực tiếp AB đem tọa phỏng là (2;4;2).

Véc tơ AB đem tọa phỏng (2;4;−2) là 1 trong véc tơ pháp tuyến của mặt mũi phẳng lì (P).

Do tê liệt phương trình mặt mũi phẳng lì (P) là:

2(x−2)+4(y−4)−2(z−2)=0

⇔2x+4y−2z−16=0

⇔x+2y−z−8=0.

Ví dụ minh họa (Trắc nghiệm):

Cách ghi chép Phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng và bài bác luyện áp dụng (ảnh 1)

Lời giải:

Trung điểm I của đoạn trực tiếp AB đem tọa phỏng là (0;4;1).

Véc tơ AB đem tọa phỏng (2;4;−4) là 1 trong véc tơ pháp tuyến của mặt mũi phẳng lì trung trực của đoạn AB.

Vậy mặt mũi phẳng lì cần thiết dò xét đem phương trình là:

2(x−0)+4(y−4)−4(z−1)=0

⇔x+2y−2z−6=0

⇔−x−2y+2z+6=0.

Chọn đáp án A.

3. Cách nhẩm nhanh chóng phương trình mặt mũi phẳng lì trung trực

Thông thông thường Khi đo lường ghi chép ptmp trung trực tao thông thường lược bớt công việc biến hóa khiến cho đi ra thành phẩm ngay lập tức. Ta xét lại ví dụ mặt mũi trên:

“Trong không khí Oxyz, mang đến điểm A(1;2;3) và điểm B(3;6;1). lõi mặt mũi phẳng lì (P) là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB. Hãy ghi chép phương trình tổng quát lác của (P).”

Ta tiếp tục tổ chức nhẩm véc tơ AB=(2;4;-2). Khi tê liệt tao tiếp tục ghi chép được “phần đầu” của phương trình là:

2x+4y-2z+….=0

Đến trên đây tao nhẩm tọa phỏng trung điểm AB là I(2;4;2) tao thay cho luôn luôn vô “phần đầu” phương trình vừa vặn tìm ra. Bài nào là phân số hoặc số lớn tao hoàn toàn có thể người sử dụng công dụng CALC của dòng sản phẩm tính nhằm tính.

Ta được: 2.2+4.4-2.2=16. Ta lấy “phần đầu” trừ lên đường 16 (kết trái ngược vừa vặn nhẩm được) là được kết quả:

2x+4y-2z-16=0

4. Bài luyện vận dụng

Bài 1:

Xem thêm: 250+ Tranh Tô Màu Pikachu, Cute, Đẹp Đáng Yêu Nhất Hệ

Trong ko gian $O x y z$ , mang đến nhị điểm $A (1; - 1; 2)$ và $B (3; 3; 0)$ . Mặt phẳng lì trung trực của đoạn thẳng $A B$ có phương trình là

A. $x + y - z - 2 = 0$ . B. $x + y - z + 2 = 0$ . C. $x + 2 y - z - 3 = 0$ . D. $x + 2 y - z + 3 = 0$ .

Lời giải

Ta có $\vec{A B} = 2 (1; 2; - 1)$ .

Gọi $I$ là trung điểm của $A B \Rightarrow I (2; 1; 1)$ .

+ Mặt phẳng lì trung trực $(α)$ của đoạn thẳng $A B$ đi qua $I$ và nhận $\vec{n} = \frac{1}{2} \vec{A B} = (1; 2; - 1)$ làm vectơ pháp tuyến đem phương trình là

$x - 2 + 2 (y - 1) - (z - 1) = 0 \Leftrightarrow x + 2 y - z - 3 = 0$ .

Vậy mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng $A B$ là $x + 2 y - z - 3 = 0$ .

Đáp án: C.

Bài 2: Trong ko gian $O x y z$ , cho $A (- 1; - 1; 1)$ , $B (3; 1; 1)$ . Phương trình mặt mũi phẳng lì trung trực của đoạn $A B$ là.

Lời giải

Gọi $I$ là trung điểm của $A B$ nên $I (1; 0; 1)$ .

Mặt phẳng lì trung trực của đoạn $A B$ có vtpt là $\vec{n}$ $= \vec{A B}$ $= (4; 2; 0)$ $= 2 (2; 1; 0)$ .

Phương trình mặt mũi phẳng lì cần thiết dò xét là: $2 (x - 1) + 1 (y - 0) = 0$ $\Leftrightarrow 2 x + y - 2 = 0$ .

Bài 3:

Trong ko gian $O x y z$ , mang đến nhị điểm $A (1; 3; - 4)$ và $B (- 1; 2; 2)$ . Viết phương trình mặt mũi phẳng lì trung trực $(α)$ của đoạn thẳng $A B$ .

A. $(α) : 4 x + 2 y + 12 z + 7 = 0$ . B. $(α) : 4 x - 2 y + 12 z + 17 = 0$ .

C. $(α) : 4 x + 2 y - 12 z - 17 = 0$ . D. $(α) : 4 x - 2 y - 12 z - 7 = 0$ .

Lời giải

Gọi $I (0; \frac{5}{2}; - 1)$ là trung điểm của $A B$ ; $\vec{A B} = (- 2; - 1; 6)$ .

Mặt phẳng $(α)$ qua $I (0; \frac{5}{2}; - 1)$ và đem VTPT $\vec{n} = (- 2; - 1; 6)$ nên đem PT: $(α) : - 2 (x) - (y - \frac{5}{2}) + 6 (z + 1) = 0 \Leftrightarrow 4 x + 2 y - 12 z - 17 = 0$ .

Đáp án: C

Bài 4:

Trong không khí với hệ tọa độ $O x y z$ , mang đến nhị điểm $A (1; 6; - 7)$ và $B (3; 2; 1)$ . Phương trình mặt mũi phẳng lì trung trực đoạn $A B$ là.

Lời giải

Mặt phẳng lì trung trực đoạn $A B$ đi qua loa trung điểm $I (2; 4; - 3)$ của đoạn $A B$ và nhân $\vec{A B} = (2; - 4; 8)$ làm vectơ pháp tuyến đem phương trình:

$2 (x - 2) - 4 (y - 4) + 8 (z + 3) = 0$ $\Leftrightarrow x - 2 y + 4 z + 18 = 0$

Bài 5:

Trong không khí với hệ tọa độ $O x y z$ , mang đến điểm $A (2; 4; 1); B (- 1; 1; 3)$ và mặt mũi phẳng $(P) : x - 3 y + 2 z - 5 = 0$ . Một mặt mũi phẳng $(Q)$ đi qua loa nhị điểm $A, B$ và vuông góc với mặt mũi phẳng $(P)$ có dạng $a x + b y + c z - 11 = 0$ . Khẳng lăm le nào là sau đó là đúng?

A. $a + b + c = 5$ . B. $a + b + c = 15$ . C. $a + b + c = - 5$ . D. $a + b + c = - 15$ .

Lời giải

Vì $(Q)$ vuông góc với $(P)$ nên $(Q)$ nhận vtpt $\vec{n} = (1; - 3; 2)$ của $(P)$ làm vtcp

Mặt khác $(Q)$ đi qua $A$ và $B$ nên $(Q)$ nhận $\vec{A B} = (- 3; - 3; 2)$ làm vtcp

$(Q)$ nhận $\vec{n_{Q}} = [\vec{n}, \vec{A B}] = (0; 8; 12)$ làm vtpt

Vậy phương trình mặt mũi phẳng $(Q) : 0 (x + 1) + 8 (y - 1) + 12 (z - 3) = 0$ , hay $(Q) : 2 y + 3 z - 11 = 0$

Vậy $a + b + c = 5$ .

Đáp án: A.

Bài 6:

Trong không khí với hệ tọa độ $O x y z$ , mang đến mặt mũi phẳng $(P) : x + y + z + 1 = 0$ và nhị điểm $A (1; - 1; 2); B (2; 1; 1)$ . Mặt phẳng $(Q)$ chứa $A, B$ và vuông góc với mặt mũi phẳng $(P)$ , mặt mũi phẳng $(Q)$ có phương trình là:

A. $3 x - 2 y - z + 3 = 0$ . B. $x + y + z - 2 = 0$ . C. $3 x - 2 y - z - 3 = 0$ . D. $- x + y = 0$ .

Lời giải

Mặt phẳng $(P)$ có 1 véc tơ pháp tuyến là $\vec{n_{p}} = (1; 1; 1)$ . Véc tơ $\vec{A B} = (1; 2; - 1)$ .

Xem thêm: 2019 Mệnh Gì? Hợp Màu Gì, Khắc Màu Gì? Tính Cách Thế Nào?

Gọi $\vec{n}$ là một véc tơ pháp tuyến của $(Q)$ , do $(Q)$ vuông góc với $(P)$ nên $\vec{n}$ có giá chỉ vuông góc với $\vec{n_{p}}$ , mặt mũi không giống véc tơ $\vec{A B}$ có giá chỉ ở trong mặt mũi phẳng $(Q)$ nên $\vec{n}$ cũng vuông góc với $\vec{A B}$

Mà ${\vec{n}}_{p}$ và $\vec{A B}$ không nằm trong phương nên tao hoàn toàn có thể chọn $\vec{n}$ = $[\vec{n_{P}}, \vec{A B}] = (- 3; 2; 1)$ , mặt mũi khác $(Q)$ đi qua $A (1; - 1; 2)$ nên phương trình của mặt mũi phẳng $(Q)$ là: