Giá trị lượng giác của góc lượng giác (Lý thuyết Toán lớp 11) | Kết nối tri thức.

Với tóm lược lý thuyết Toán 11 Bài 1: Giá trị lượng giác của góc lượng giác sách Kết nối học thức hoặc nhất, cụ thể sẽ chung học viên lớp 11 nắm rõ kỹ năng và kiến thức trọng tâm, ôn luyện nhằm học tập đảm bảo chất lượng môn Toán 11.

Giá trị lượng giác của góc lượng giác (Lý thuyết Toán lớp 11) | Kết nối tri thức

Quảng cáo

Bạn đang xem: Giá trị lượng giác của góc lượng giác (Lý thuyết Toán lớp 11) | Kết nối tri thức.

Lý thuyết Giá trị lượng giác của góc lượng giác

1. Góc lượng giác

a) Khái niệm góc lượng giác và số đo của góc lượng giác

– Trong mặt mũi phẳng lặng, mang đến nhị tia Ou, Ov. Xét tia Om nằm trong ở trong mặt mũi phẳng lặng này. Nếu tia Om xoay quanh điểm O, theo đòi một chiều chắc chắn kể từ Ou cho tới Ov, thì tớ rằng nó quét dọn một góc lượng giác với tia đầu Ou, tia cuối Ov và kí hiệu là (Ou, Ov).

– Góc lượng giác (Ou, Ov) chỉ được xác lập khi tớ hiểu rằng hoạt động tảo của tia Om kể từ tia đầu Ou cho tới tia cuối Ov (H.1.3). Ta quy ước: Chiều tảo ngược với chiều tảo của kim đồng hồ đeo tay là chiều dương, chiều tảo nằm trong chiều kim đồng hồ đeo tay là chiều âm.

Khi bại liệt, nếu như tia Om tảo theo hướng dương đích thị một vòng tớ rằng tia Om tảo góc 360°, tảo đích thị 2 vòng tớ rằng nó tảo góc 720°; tảo theo hướng âm nửa vòng tớ rằng nó tảo góc –180°, tảo theo hướng âm 1,5 vòng tớ rằng nó tảo góc –1,5.360° = –540°, …

Quảng cáo

Khi tia Om tảo góc α° thì tớ rằng góc lượng giác tuy nhiên tia bại liệt quét dọn nên sở hữu số đo α°. Số đo của góc lượng giác sở hữu tia đầu Ou, tia cuối Ov được kí hiệu là sđ (Ou, Ov).

– Mỗi góc lượng giác gốc O được xác lập bởi vì tia đầu Ou, tia cuối Ov và số đo của chính nó.

Chú ý: Cho nhị tia Ou, Ov thì sở hữu vô số góc lượng giác tia đầu Ou, tia cuối Ov. Mỗi góc lượng giác như vậy đều kí hiệu là (Ou, Ov). Số đo của những góc lượng giác này sai không giống nhau một bội nguyên vẹn của 360°.

Ví dụ: Cho góc hình học tập uOv sở hữu số đo 30° (như hình vẽ). Xác quyết định số đo của những góc lượng giác (Ou, Ov) và (Ov, Ou).

Hướng dẫn giải

Ta có:

– Các góc lượng giác tia đầu Ou, tia cuối Ov sở hữu số đo là sđ(Ou, Ov) = 30° + k360° (k ∈ ℤ).

Quảng cáo

– Các góc góc lượng giác tia đầu Ov, tia cuối Ou sở hữu số đo là sđ(Ov, Ou) = –30° + k360° (k ∈ ℤ).

b) Hệ thức Chasles

Với tía tia Ou, Ov, Ow bất kì, tớ có:

sđ (Ou, Ov) + sđ (Ov, Ow) = sđ (Ou, Ow) + k360° (k ∈ ℤ).

Nhận xét: Từ hệ thức Chasles, tớ suy ra:

Với tía tia tùy ý Ox, Ou, Ov tớ có:

sđ (Ou, Ov) = sđ (Ox, Ov) – sđ (Ox, Ou) + k360° (k ∈ ℤ).

Ví dụ: Cho một góc lượng giác sở hữu sđ (Ox, Ou) = 120° và một góc lượng giác (Ox, Ov) sở hữu số đo 250°. Tính số đo của góc lượng giác (Ou, Ov).

Hướng dẫn giải

Ta có:

sđ (Ou, Ov) = sđ (Ox, Ov) – sđ (Ox, Ou) + k360° = 250° – 120° + k360° = 130°+ k360°.

2. Đơn vị đo góc và phỏng nhiều năm cung tròn

a) Đơn vị đo góc và cung tròn

– Đơn vị độ: Để đo góc, tớ người sử dụng đơn vị chức năng phỏng. Ta tiếp tục biết: Góc 1° bởi vì $\frac{1}{180}$ góc bẹt.

Đơn vị phỏng được tạo thành những đơn vị chức năng nhỏ rộng lớn 1° = 60´; 1´ = 60".

Quảng cáo

– Đơn vị rađian: Cho lối tròn trặn (O) tâm O, nửa đường kính R và một cung AB bên trên (O).

Ta rằng cung tròn trặn AB sở hữu số đo bởi vì 1 rađian nếu như phỏng nhiều năm của chính nó đích thị bởi vì nửa đường kính R.

Khi bại liệt tớ cũng bảo rằng góc AOB sở hữu số đo bởi vì 1 rađian và viết lách $\widehat{AOB}=1\text{rad}$.

– Quan hệ đằm thắm phỏng và rađian: Do lối tròn trặn có tính nhiều năm 2ℼR nên nó sở hữu số đo 2ℼ rad. Mặt không giống, lối tròn trặn sở hữu số đo bởi vì 360° nên tớ sở hữu 360° = 2ℼ rad.

Do bại liệt tớ viết lách $1°=\frac{\pi }{180}\text{rad}$ và .

Chú ý:

– Khi viết lách số đo của một góc theo đòi đơn vị chức năng rađian, người tớ thông thường ko viết lách chữ rad sau số đo. Chẳng hạn góc $\frac{\pi }{2}$ được hiểu là góc $\frac{\pi }{2}$ rad.

– Dưới đó là bảng ứng đằm thắm số đo bởi vì phỏng và số đo bởi vì rađian của những góc đặc biệt quan trọng nhập phạm vi kể từ 0° cho tới 180°.

Ví dụ:

a) 50° = $50.\frac{\pi }{180}\text{=}\frac{5\pi }{18}$

b) .

b) Độ nhiều năm cung tròn

Một cung của lối tròn trặn nửa đường kính R và sở hữu số đo α rad thì có tính nhiều năm l = Rα.

Ví dụ:

Cung của lối tròn trặn nửa đường kính 2 centimet và sở hữu số đo $\frac{\pi }{3}$ thì có tính nhiều năm l = 2.$\frac{\pi }{3}$ = $\frac{2\pi }{3}$ (cm).

3. Giá trị lượng giác của góc lượng giác

a) Đường tròn trặn lượng giác

– Đường tròn trặn lượng giác là lối tròn trặn sở hữu tâm bên trên gốc tọa phỏng, nửa đường kính bởi vì 1, được kim chỉ nan và lấy điểm A(1; 0) thực hiện điểm gốc của lối tròn trặn.

– Điểm bên trên lối tròn trặn lượng giác màn biểu diễn góc lượng giác sở hữu số đo α (độ hoặc rađian) là vấn đề M bên trên lối tròn trặn lượng giác sao mang đến sđ (OA, OM) = α.

Ví dụ: Điểm M bên trên lối tròn trặn lượng giác màn biểu diễn góc sở hữu số đo –120° được xác lập như nhập hình sau:

b) Các độ quý hiếm lượng giác của góc lượng giác

– Hoành phỏng x của điểm M được gọi là côsin của α, kí hiệu là cos α.

cosα = x.

– Tung phỏng hắn của điểm M được gọi là sin của α, kí hiệu là sin α.

sinα = hắn.

– Nếu cosα ≠ 0, tỉ số $\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }$ được gọi là tang của α, kí hiệu là tanα.

$\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\frac{y}{x}(x\ne 0)$.

– Nếu sinα ≠ 0, tỉ số $\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }$ được gọi là côtang của α, kí hiệu là cotα.

$\cot \alpha =\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }=\frac{x}{y}(y\ne 0)$.

– Các độ quý hiếm cosα, sinα, tanα, cotα được gọi là độ quý hiếm lượng giác của α.

Chú ý:

– Ta còn gọi trục tung là trục sin, trục hoành là trục côsin.

– Từ khái niệm tớ suy ra:

+ sinα, cosα xác lập với từng độ quý hiếm của α và tớ có:

–1 ≤ sinα ≤ 1; –1 ≤ cosα ≤ 1;

sin (α + k2ℼ) = sinα; cos (α + k2ℼ) = cosα (k ∈ ℤ).

+ tanα xác lập khi $\alpha \ne \frac{\pi }{2}+k\pi (k\in \mathbb{Z})$

+ cotα xác lập khi $\alpha \ne k\pi (k\in \mathbb{Z})$.

+ Dấu của những độ quý hiếm lượng giác của một góc lượng giác tùy thuộc vào địa điểm điểm màn biểu diễn M bên trên lối tròn trặn lượng giác.

Ví dụ: Cho góc lượng giác sở hữu số đo bởi vì $\frac{\pi }{3}$.

a) Xác quyết định điểm M bên trên lối tròn trặn lượng giác màn biểu diễn góc lượng giác tiếp tục mang đến.

b) Tính những độ quý hiếm lượng giác của góc lượng giác tiếp tục mang đến.

Hướng dẫn giải

a) Điểm M bên trên lối tròn trặn lượng giác màn biểu diễn góc lượng giác sở hữu số đo $\frac{\pi }{3}$ được xác lập nhập hình sau đây.

b) Ta có:

$\cos \frac{\pi }{3}=\frac{1}{2}$; $\sin \frac{\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$;

$\tan \frac{\pi }{3}=\frac{\sin \frac{\pi }{3}}{\cos \frac{\pi }{3}}=\sqrt{3}$; $\cot \frac{\pi }{3}=\frac{\cos \frac{\pi }{3}}{\sin \frac{\pi }{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}$.

c) Giá trị lượng giác của những góc quánh biệt

d) Sử dụng PC di động nhằm thay đổi số đo và lần giác trị lượng giác của góc.

– cũng có thể người sử dụng PC di động nhằm tính độ quý hiếm lượng giác của góc lượng giác và thay đổi số đo phỏng của cung tròn trặn rời khỏi rađian và ngược lại.

Ví dụ: Sử dụng PC di động để:

a) Tính cos(–147°) (làm tròn trặn cho tới chữ số thập phân loại năm).

Xem thêm: 1m45 Mặc Gì Cho Đẹp? Cách Phối Đồ Siêu Hack Dáng Cho Nấm Lùn

b) Đổi $\frac{4}{9}$rad lịch sự phỏng.

Hướng dẫn giải

a) Ta bấm PC di động như sau:

Máy tính hiển thị rời khỏi kết quả: –0.8386705679

Vậy cos(–147°) ≈ –0,83867.

b) Ta bấm PC di động như sau:

Kết trái khoáy PC xuất hiện 25°27’53.25’’

Vậy $\frac{4}{9}$rad bởi vì 25°27’53,25’’.

4. Quan hệ Một trong những độ quý hiếm lượng giác

a) Các công thức lượng giác cơ bản

sin² α + cos² α = 1

$1+{\tan }^2\alpha =\frac{1}{{\cos }^2\alpha }\text{ (}\alpha \ne \frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z})$

$1+{\cot }^2\alpha =\frac{1}{{\sin }^2\alpha }\text{ (}\alpha \ne k\pi ,k\in \mathbb{Z})$

tanα . cotα = 1 $(\alpha \ne \frac{k\pi }{2}\pi ,k\in \mathbb{Z})$

Ví dụ: Tính những độ quý hiếm lượng giác của góc α, biết cosα = $\frac{4}{5}$và 0 < α < 90°.

Hướng dẫn giải

Vì 0 < α < 90° nên sin α > 0. Mặt không giống, kể từ sin² α + cos² α = 1 suy ra

$\sin \alpha =\sqrt{1-{\cos }^2\alpha }=\sqrt{1-{\left(\frac{4}{5}\right)}^2}=\sqrt{\frac{9}{25}}=\frac{3}{5}$.

Do bại liệt, $\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\frac{\frac{3}{5}}{\frac{4}{5}}=\frac{3}{4}$ và $\cot \alpha =\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }=\frac{\frac{4}{5}}{\frac{3}{5}}=\frac{4}{3}$ .

b) Giá trị lượng giác của những góc sở hữu tương quan quánh biệt

– Góc đối nhau (α và –α )

cos(–α) = cos α

sin(–α) = – sin α

tan(–α) = – tan α

cot(–α) = – cot α

– Góc bù nhau (α và ℼ – α)

sin(ℼ – α) = sin α

cos(ℼ – α) = – cos α

tan(ℼ – α) = – tan α

cot(ℼ – α) = – cot α

– Góc phụ nhau (α và $\frac{\pi }{2}-\alpha$)

– Góc rộng lớn tầm thường ℼ (α và ℼ + α)

sin (ℼ + α) = – sin α

cos (ℼ + α) = – cos α

tan (ℼ + α) = tan α

cot (ℼ + α) = cot α

Chú ý: Nhờ những công thức bên trên, tớ rất có thể đem việc tính độ quý hiếm lượng giác của một góc lượng giác bất kì về sự việc tính độ quý hiếm lượng giác của góc α với $0\le \alpha \le \frac{\pi }{2}$.

Ví dụ:

a) Tính .

b) Rút gọn gàng biểu thức: (giả sử tanα và cotα đều phải sở hữu nghĩa).

Hướng dẫn giải

a)

b) Ta có:

Bài luyện Giá trị lượng giác của góc lượng giác

Bài 1. Trên một lối tròn trặn sở hữu nửa đường kính bởi vì 5 centimet, lần phỏng nhiều năm của cung sở hữu số đo $\frac{2\pi }{3}$ .

Hướng dẫn giải

Ta sở hữu R = 5 cm; $\alpha =\frac{2\pi }{3}$. Suy rời khỏi l = Rα = $5.\frac{2\pi }{3}$ ≈ 10,5 (cm).

Vậy phỏng nhiều năm cung tròn trặn là 10,5 centimet.

Bài 2. Tính những độ quý hiếm lượng giác của góc α, biết sinα = $-\frac{2}{5}$ và $\frac{3\pi }{2}<\alpha <2\pi$ .

Hướng dẫn giải

Vì $\frac{3\pi }{2}<\alpha <2\pi$ nên cos α > 0. Mặt không giống, kể từ sin² α + cos² α = 1 suy ra

Do bại liệt, $\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\frac{-\frac{2}{5}}{\frac{\sqrt{21}}{5}}=-\frac{2\sqrt{21}}{21}$ và $\cot \alpha =\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }=\frac{\frac{\sqrt{21}}{5}}{-\frac{2}{5}}=-\frac{\sqrt{21}}{2}$ .

Bài 3. Tính

a) ;

b) tan(–780°).

Hướng dẫn giải

a) .

b) tan(– 780°) = tan(–60° – 2.360°) = tan(–60°) = – tan60° = $-\sqrt{3}$.

Bài 4. Dùng PC di động để:

a) Đổi 56°32’ lịch sự rađian.

b) Tính .

Hướng dẫn giải

a) Để thay đổi 56°32’ lịch sự rađian tớ bấm thứu tự như sau:

Màn hình hiển thị kết quả: 0,9866928038

Vậy 56°32’ bởi vì 0,9866928038 rađian.

b) Để tính tớ bấm thứu tự như sau:

Màn hình hiển thị kết quả: 1,253960338

Vậy bởi vì 1,253960338.

Học đảm bảo chất lượng Giá trị lượng giác của góc lượng giác

Các bài học kinh nghiệm nhằm học tập đảm bảo chất lượng Giá trị lượng giác của góc lượng giác Toán lớp 11 hoặc khác:

• Giải sgk Toán 11 Bài 1: Giá trị lượng giác của góc lượng giác

Xem tăng tóm lược lý thuyết Toán lớp 11 Kết nối học thức hoặc khác:

• Lý thuyết Toán 11 Bài 2: Công thức lượng giác

• Lý thuyết Toán 11 Bài 3: Hàm con số giác

• Lý thuyết Toán 11 Bài 4: Phương trình lượng giác cơ bản

• Tổng hợp lý và phải chăng thuyết Toán 11 Chương 1

• Lý thuyết Toán 11 Bài 5: Dãy số

Săn shopee siêu SALE :

• Sổ lốc xoáy Art of Nature Thiên Long color xinh xỉu
• Biti's rời khỏi khuôn mới nhất xinh lắm
• Tsubaki 199k/3 chai
• L'Oreal mua 1 tặng 3