Xác định góc giữa hai đường thẳng chéo nhau - TOANMATH.com

Bài viết lách trình diễn cách thức xác lập và tính góc thân thích hai tuyến phố trực tiếp chéo cánh nhau vô không khí bằng phương pháp dùng hình học tập không khí cổ xưa, đó là một nội dung thông thường bắt gặp vô lịch trình Hình học tập 11 chương 3: Quan hệ vuông góc, kiến thức và kỹ năng và những ví dụ vô nội dung bài viết được tìm hiểu thêm kể từ những tư liệu hình học tập không khí được share bên trên TOANMATH.com.

Bài toán: Cho hai tuyến phố trực tiếp $a$ và $b$ chéo cánh nhau, xác lập góc thân thích $2$ đường thẳng liền mạch $a$ và $b.$

Bạn đang xem: Xác định góc giữa hai đường thẳng chéo nhau - TOANMATH.com

Để xác lập góc thân thích hai tuyến phố trực tiếp $a$ và $b$ chéo cánh nhau, tớ dùng những cơ hội sau:

Cách 1: Chọn hai tuyến phố thẳng tách nhau $a’$ và $b’$ theo thứ tự song song với $a$ và $b$. Khi bại $(\widehat {a,b}) = (\widehat {a’,b’})$.

Cách 2: Chọn một điểm $A$ ngẫu nhiên thuộc $a$, rồi kể từ bại kẻ một đường thẳng liền mạch $b’$ qua $A$ và song song với $b$. Khi bại $(\widehat {a,b}) = (\widehat {a,b’})$.

Xem thêm: Hướng Dẫn Rút Tiền Jun88 Chỉ Trong 2 Phút Nhanh Chóng Nhất

Ví dụ 1: Cho hình chóp $S.ABCD$ với lòng là hình thoi cạnh $a$, $SA = a\sqrt 3 ,SA \bot BC$. Tính góc thân thích hai tuyến phố trực tiếp $SD$ và $BC$?

Ta có: $BC//AD.$
Do đó $(SD,BC) = (SD,AD) = \widehat {SDA}.$
Vì $\left. \begin{array}{l}
BC||AD\\
SA \bot BC
\end{array} \right\}$ $ \Rightarrow SA \bot AD \Rightarrow \widehat {SAD} = {90^0}.$
Xét tam giác $ΔSAD$ vuông bên trên $A$ tớ có:
$\tan \widehat {SDA} = \frac{{SA}}{{AD}} = \sqrt 3 $ $ \Rightarrow \widehat {SDA} = {60^0}.$
Vậy góc thân thích hai tuyến phố trực tiếp $SD$ và $BC$ vị $60$ phỏng.

Ví dụ 2: Cho tứ diện $ABCD$ với $AB = CD = 2a$. Gọi $M, N$ theo thứ tự là trung điểm của $BC$ và $AD$, $MN = a\sqrt 3 $. Tính góc thân thích hai tuyến phố trực tiếp $AB$ và $CD$?

Xem thêm: Sinh năm 2026 mệnh gì? Tuổi Bính Ngọ có vận số phú quý hay không?

Gọi $I$ là trung điểm của $BD.$
Ta có: $\left. \begin{array}{l}
IN//AB\\
IM//CD
\end{array} \right\}$ $ \Rightarrow (AB,CD) = (IM,IN).$
Xét tam giác $IMN$ có:
$IM = IN = a,MN = a\sqrt 3 .$
Do bại $\cos \widehat {MIN} = \frac{{2{a^2} – 3{a^2}}}{{2{a^2}}} = – \frac{1}{2}$ $ \Rightarrow \widehat {MIN} = {120^0}.$
Vậy $(\widehat {AB,CD}) = {180^0} – {120^0} = {60^0}$.

Ví dụ 3: Cho hình lăng trụ $ABC.A’B’C’$ có tính lâu năm cạnh mặt mũi vị $2a$, lòng $ABC$ là tam giác vuông bên trên $A$, $AB = a,AC = a\sqrt 3$. Hình chiếu vuông góc của $A’$ lên $mp(ABC)$ là trung điểm của $BC$. Tính $cosin$ của góc thân thích hai tuyến phố trực tiếp $AA’$ và $B’C’$?

Gọi $H$ là trung điểm của $BC.$
Ta có: $\left. \begin{array}{l}
AA’//BB’\\
B’C’//BH
\end{array} \right\}$ $ \Rightarrow (AA’,B’C’) = (BB’,BH).$
Hay $\cos (AA’,B’C’) = \cos (BB’,BH)$ $ = \left| {\cos \widehat {HBB’}} \right|.$
Xét tam giác $A’B’H$ có:
$\widehat {A’} = {90^0},A’B’ = a.$
$A’H = \sqrt {AA{‘^2} – A{H^2}} $ $ = \sqrt {AA{‘^2} – {{\left( {\frac{{BC}}{2}} \right)}^2}} = a\sqrt 3 .$
Suy đi ra $HB’ = \sqrt {A'{H^2} + A’B{‘^2}} = 2a.$
Do đó $\cos \widehat {HBB’} = \frac{{B{H^2} + BB{‘^2} – HB{‘^2}}}{{2.BH.BB’}} = \frac{1}{4}.$
Vậy $\cos (AA’,B’C’) = \left| {\cos \widehat {HBB’}} \right| = \frac{1}{4}$.