Lý thuyết Hệ thức lượng trong tam giác | SGK Toán 10

Nhắc lại hệ thức lượng vô tam giác vuông.

Cho tam giác $ABC$ vuông góc bên trên đỉnh $A$ ($\widehat{A} = 90^0$), tớ có:

Bạn đang xem: Lý thuyết Hệ thức lượng trong tam giác | SGK Toán 10 - Kết nối tri thức

1. ${b^2} = ab';{c^2} = a.c'$

2. Định lý Pitago : ${a^2} = {b^2} + {c^2}$

3. $a.h = b.c$

4. $h^2= b’.c’$

5. $\dfrac{1}{h^{2}}$ = $\dfrac{1}{b^{2}}$ + $\dfrac{1}{c^{2}}$

1. Định lý cosin

Định lí: Trong một tam giác bất kì, bình phương một cạnh vị tổng những bình phương của nhì cạnh sót lại trừ lên đường nhì đợt tích của nhì cạnh cơ nhân với $cosin$ của góc xen thân thiện bọn chúng.

Ta với những hệ thức sau:

$$\eqalign{
& {a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc.\cos A \, \, (1) \cr
& {b^2} = {a^2} + {c^2} - 2ac.\cos B \, \, (2) \cr
& {c^2} = {a^2} + {b^2} - 2ab.\cos C \, \, (3) \cr} $$

Hệ trái khoáy của tấp tểnh lí cosin:

$\cos A = \dfrac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}$

$\cos B = \dfrac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2ac}$

$\cos C = \dfrac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}$

Áp dụng: Tính chừng lâu năm đàng trung tuyến của tam giác:

Cho tam giác $ABC$ với những cạnh $BC = a, CA = b$ và $AB = c$. Gọi $m_a,m_b$ và $m_c$ là chừng lâu năm những đàng trung tuyến theo lần lượt vẽ kể từ những đỉnh $A, B, C$ của tam giác. Ta có

${m_{a}}^{2}$ = $\dfrac{2.(b^{2}+c^{2})-a^{2}}{4}$

${m_{b}}^{2}$ = $\dfrac{2.(a^{2}+c^{2})-b^{2}}{4}$

${m_{c}}^{2}$ = $\dfrac{2.(a^{2}+b^{2})-c^{2}}{4}$

2. Định lí sin

Định lí: Trong tam giác $ABC$ ngẫu nhiên, tỉ số thân thiện một cạnh và sin của góc đối lập với cạnh cơ vị 2 lần bán kính của đàng tròn trĩnh nước ngoài tiếp tam giác, nghĩa là

$\dfrac{a}{\sin A}= \dfrac{b}{\sin B} = \dfrac{c}{\sin C} = 2R$

với $R$ là nửa đường kính đàng tròn trĩnh nước ngoài tiếp tam giác

Xem thêm: Tuổi Mậu Dần 1998 Mệnh Gì? Hợp Với Tuổi Gì, Hợp Màu Gì?

Công thức tính diện tích S tam giác

Diện tích $S$ của tam giác $ABC$ được xem theo đuổi một trong số công thức sau

$S = \dfrac{1}{2} ab \sin C= \dfrac{1}{2} bc \sin A $ $= \dfrac{1}{2}ca \sin B \, \,(1)$

$S = \dfrac{abc}{4R}\, \,(2)$

$S = pr\, \,(3)$

$S = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}$ (công thức Hê - rông) $(4)$

Trong đó:$BC = a, CA = b$ và $AB = c$; $R, r$ là nửa đường kính đàng tròn trĩnh nước ngoài tiếp, bk đàng tròn trĩnh nội tiếp và $S$ là diện tích S tam giác cơ.

3. Giải tam giác và phần mềm vô việc đo đạc

Giải tam giác : Giải tam giác là đi tìm kiếm những nhân tố (góc, cạnh) không biết của tam giác khi vẫn biết một số trong những nhân tố của tam giác cơ.

Muốn giải tam giác tớ cần thiết thám thính côn trùng tương tác trong số những góc, cạnh vẫn cho tới với những góc, những cạnh không biết của tam giác trải qua những hệ thức và được nêu vô tấp tểnh lí cosin, tấp tểnh lí sin và những công thức tính diện tích S tam giác.

Các Việc về giải tam giác: Có 3 Việc cơ phiên bản về gỉải tam giác:

a) Giải tam giác lúc biết một cạnh và nhì góc.

=> Dùng tấp tểnh lí sin nhằm tính cạnh sót lại.

b) Giải tam giác lúc biết nhì cạnh và góc xen giữa

=> Dùng tấp tểnh lí cosin nhằm tính cạnh loại tía.

Sau cơ người sử dụng hệ trái khoáy của tấp tểnh lí cosin nhằm tính góc.

c) Giải tam giác lúc biết tía cạnh

Đối với Việc này tớ dùng hệ trái khoáy của tấp tểnh lí cosin nhằm tính góc:

$\cos A = \dfrac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}$

$\cos B = \dfrac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2ac}$

$cos C = \dfrac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}$

Chú ý:

Xem thêm: Tạo chữ ký đẹp theo tên Hiền chữ ký đẹp theo tên hiền Chỉ với vài cú click chuột

1. Cần chú ý là 1 trong tam giác giải được khi tớ biết 3 nhân tố của chính nó, vô cơ nên với tối thiểu một nhân tố chừng lâu năm (tức là nhân tố góc ko được vượt lên trên 2)

2. Việc giải tam giác được dùng vô những Việc thực tiễn, nhất là những Việc đo lường.