Lý thuyết xác suất và biến cố

1. Định nghĩa truyền thống của xác suất

Giả sử \(A\) là trở nên cố tương quan cho tới quy tắc test \(T\) và quy tắc test \(T\) đem một trong những hữu hạn thành quả hoàn toàn có thể đem, đồng kỹ năng. Khi bại liệt tao gọi tỉ số \(\frac{n(A)}{n(\Omega )}\) là phần trăm của trở nên cố \(A\), kí hiệu là

Bạn đang xem: Lý thuyết xác suất và biến cố | SGK Toán lớp 11

\(P(A)\) = \(\frac{n(A)}{n(\Omega )}\)

Trong bại liệt,

+) \(n(A)\) là số thành phần của giao hội \(A\), cũng đó là số những thành quả hoàn toàn có thể đem của quy tắc test \(T\) thuận tiện cho tới trở nên cố \(A\);

+) \(n(Ω)\) là số thành phần của không khí khuôn mẫu \(Ω\), cũng đó là số những thành quả hoàn toàn có thể đem của quy tắc test \(T\).

Ví dụ:

Gieo tình cờ một con cái súc sắc bằng vận và đồng hóa học. Tính phần trăm nhằm mặt mũi xuất hiện tại là mặt mũi đem số phân tách không còn cho tới \(3\).

Hướng dẫn:

Không gian lận khuôn mẫu \(\Omega = \left\{ {1;2;3;4;5;6} \right\}\)

\( \Rightarrow n\left( \Omega \right) = 6\).

Biến cố \(A:\) Mặt xuất hiện tại đem số phân tách không còn cho tới \(3\).

Khi bại liệt \(A = \left\{ {3;6} \right\}\)

\( \Rightarrow n\left( A \right) = 2\).

Vậy phần trăm \(P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\).

2. Các đặc điểm cơ bạn dạng của xác suất

2.1 Định lí

a) \(P(\phi) = 0; P(Ω) = 1\).

b) \(0 ≤ P(A) ≤ 1\), với từng trở nên cố \(A\).

c) Nếu \(A\) và \(B\) xung xung khắc cùng nhau, thì tao có

\(P(A ∪ B) = P(A) + P(B)\) (công thức nằm trong xác suất).

2.2 Hệ quả

Với từng trở nên cố \(A\), tao luôn luôn trực tiếp có: \(P\)(\(\overline{A}\)) = \(1 - P(A)\).

3. Hai trở nên cố độc lập

Định nghĩa

Hai trở nên cố (liên quan tiền cho tới và một quy tắc thử) là song lập cùng nhau Lúc và chỉ Lúc việc xẩy ra hay là không xẩy ra của trở nên cố này sẽ không thực hiện tác động cho tới phần trăm xẩy ra của trở nên cố bại liệt (nói cách tiếp theo là ko thực hiện tác động cho tới kỹ năng xẩy ra của trở nên cố kia).

Định lí

Nếu \(A, B\) là nhị trở nên cố (liên quan tiền cho tới và một quy tắc thử) sao cho tới \(P(A) > 0\),

Xem thêm: 250+ Tranh Tô Màu Pikachu, Cute, Đẹp Đáng Yêu Nhất Hệ

\(P(B) > 0\) thì tao có:

a) \(A\) và \(B\) là nhị trở nên cố song lập cùng nhau Lúc và chỉ khi:

\(P(A . B) = P(A) . P(B)\)

Chú ý: Kết trái khoáy một vừa hai phải nêu chỉ đúng trong các tình huống tham khảo tính song lập chỉ của 2 trở nên cố.

b) Nếu \(A\) và \(B\) song lập cùng nhau thì những cặp trở nên cố tại đây cũng song lập với nhau:

\(A\) và \(\overline{B}\), \(\overline{A}\) và \(B\), \(\overline{A}\) và \(\overline{B}\).

Ví dụ:

Gieo một con cái súc sắc bằng vận và đồng hóa học nhị chuyến. Tính phần trăm những trở nên cố sau:

\(A:\) “Lần loại nhất xuất hiện tại mặt mũi \(4\) chấm”

\(B:\) “Lần loại nhị xuất hiện tại mặt mũi \(4\) chấm”

Từ bại liệt suy rời khỏi nhị trở nên cố \(A\) và \(B\) song lập.

Hướng dẫn

Không gian lận mẫu: \(\Omega = \left\{ {\left( {i;j} \right),i,j \in \mathbb{Z},1 \le i \le 6,1 \le j \le 6} \right\}\)

\( \Rightarrow n\left( \Omega \right) = 6.6 = 36\).

Biến cố \(A:\) “Lần loại nhất xuất hiện tại mặt mũi \(4\) chấm”

\(A = \left\{ {\left( {4;1} \right),\left( {4;2} \right),\left( {4;3} \right),\left( {4;4} \right),\left( {4;5} \right),\left( {4;6} \right)} \right\}\)

\( \Rightarrow n\left( A \right) = 6\)

\( \Rightarrow P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{6}{{36}} = \frac{1}{6}\).

Biến cố \(B:\) “Lần loại nhị xuất hiện tại mặt mũi \(4\) chấm”

\(B = \left\{ {\left( {1;4} \right),\left( {2;4} \right),\left( {3;4} \right),\left( {4;4} \right),\left( {5;4} \right),\left( {6;4} \right)} \right\}\)

\( \Rightarrow n\left( B \right) = 6\)

\( \Rightarrow P\left( B \right) = \frac{{n\left( B \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{6}{{36}} = \frac{1}{6}\).

Gọi \(C = A.B\) là trở nên cố: “Cả nhị chuyến đều xuất hiện tại mặt mũi \(4\) chấm”.

Khi bại liệt \(C = \left\{ {\left( {4;4} \right)} \right\}\)

Xem thêm: STT Đậm Chất Đời Ngắn Hay [133+ Cap Đậm Chất Cuộc Đời]

\( \Rightarrow P\left( {A.B} \right) = \frac{{n\left( C \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{1}{{36}}\).

Dễ thấy \(P\left( {A.B} \right) = P\left( A \right).P\left( B \right)\) nên \(A,B\) là nhị trở nên cố song lập.

Loigiaihay.com