Thể tích khối chóp: Công thức tính và phân dạng bài tập

Bài ghi chép khiến cho bạn phát âm dò thám hiểu công thức tính thể tích khối chóp. Từ tê liệt phần mềm giải những dạng bài bác tập luyện theo dõi từng khối chóp không giống nhau như khối chóp với cạnh mặt mày vuông góc lòng, khối chóp với hình chiếu của đỉnh lên trên bề mặt phẳng phiu lòng, khối chóp xuất hiện mặt mày vuông góc với lòng, khối chóp đều, …

Công thức

Thể tích khối chóp được xem vì như thế một trong những phần phụ thân tích của độ cao nhân với diện tích S lòng. Công thức tổng quát: V = 1/3.Sh, Trong số đó S là diện tích S lòng và h là độ cao.

Bạn đang xem: Thể tích khối chóp: Công thức tính và phân dạng bài tập

Nhận xét

– Thể tích khối chóp vì như thế một trong những phần phụ thân thể tích hình lăng trụ với cộng đồng lòng và độ cao với hình chóp.

– Có sự tương đương thân thiện công thức thể tích khối chóp với công thức diện tích S tam giác (nửa tích độ cao và cạnh đáy) Khi không ngừng mở rộng kể từ không khí hai phía lên không khí 3 chiều.

Phân dạng bài bác tập

Dạng 1. Khối chóp với cạnh mặt mày vuông góc đáy

Phương pháp giải

– Một hình chóp với cùng 1 cạnh mặt mày vuông góc với lòng thì cạnh vị trí kia đó là đàng cao.

– Một hình chóp với nhị mặt mày mặt kề nhau nằm trong vuông góc với lòng thì cạnh mặt mày là uỷ thác tuyến của nhị mặt mày tê liệt vuông góc với lòng.

Bài tập luyện vận dụng

Câu 1. Cho hình chóp S.ABC với lòng ABC là tam giác đều cạnh a. SA vuông góc với mặt mày phẳng phiu (ABC). Góc thân thiện đường thẳng liền mạch SB và mặt mày phẳng phiu (ABC) vì như thế 30°. Tính theo dõi a thể tích khối chóp S.ABC.

Hướng dẫn giải

Ta với góc thân thiện đường thẳng liền mạch SB và mặt mày phẳng phiu (ABC) là SBA = 30°.

⟹ Chọn A

Câu 2. Cho hình chóp S.ABCD với độ cao SA vì như thế a. Mặt lòng ABCD là hình thoi cạnh a, góc ABC vì như thế 60°. Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo dõi a.

Hướng dẫn giải

Tam giác ABC đều cạnh a nên

⇒ Diện tích đáy:

Thể tích khối chóp:

Câu 3. Cho hình chóp S.ABCD với lòng ABCD là hình vuông vắn với . Cạnh mặt mày SA vuông góc với mặt mày phẳng phiu (ABCD), cạnh mặt mày SB phù hợp với mặt mày phẳng phiu (ABCD) một góc 60°. Tính thể tích khối chóp S.ABCD.

Hướng dẫn giải

Ta có: AB là hình chiếu của SB lên trên bề mặt phẳng phiu (ABCD)

Nên (SB, (ABCD)) = SBA = 60°;

SA ⊥ (ABCD) ⇒ SA là độ cao của khối chóp S.ABCD

Tính được

⟹ Chọn A

Câu 4. Cho tứ diện OABC với lòng OBC là tam giác vuông bên trên O, OB = a, , (a > 0) và đàng cao . Tính thể tích khối tứ diện theo dõi a.

Hướng dẫn giải

Ta có:

Thế tích khối tứ diện

⟹ Chọn A

Câu 5. Cho hình chóp S.ABCD với lòng ABCD là hình thoi cạnh a, ABC = 60° cạnh SA vuông góc với lòng và SC tạo nên với lòng một góc 60°. Tính theo dõi a thể tích khối chóp S.ABCD.

Hướng dẫn giải

Ta với ∆ABC đều nên AC = a.

Có:

Suy rời khỏi

Mặt không giống

Vậy

⟹ Chọn A

Câu 6. Cho hình chóp S.ABCD với lòng ABCD là hình thoi với cạnh vì như thế , BAD = 120° và cạnh mặt mày SA vuông góc với lòng. hiểu mặt mày phẳng phiu (SBC) và lòng vì như thế 60°. Tính theo dõi a thể tích khối chóp S.ABCD.

Hướng dẫn giải

Do lòng ABCD là hình thoi với BAD = 120° nên những tam giác ABC, ADC đều cạnh .

Gọi H là trung điểm của BC, tớ có:

AH ⊥ BC, SA ⊥BC ⇒ BC ⊥ SH

Do đó: ((SBC); (ABCD)) = (AH; SH) = SHA = 60°

Tam giác SAH vuông bên trên A:

Ta có:

Suy ra:

⟹ Chọn B

Câu 7. Cho hình chóp S.ABC với lòng ABC là tam giác vuông bên trên B, AB = 2a, BAC = 60°. Cạnh mặt mày SA vuông góc với mặt mày phẳng phiu (ABC) và . Tính theo dõi a thể tích khối chóp S.ABC.

A. V = 2a³

B. V = 3a³

C. V = a³

D. V = 4a³

Hướng dẫn giải

Xét tam giác ABC có:

⟹ Chọn A

Câu 8. Cho hình chóp S.ABC với lòng ABC là tam giác vuông bên trên B với góc BAC = 30°, SA = a, SCA = 45° và SA vuông góc với lòng. Thể tích khối chóp S.ABC là V. Tỉ số ngay sát độ quý hiếm nào là nhất trong những độ quý hiếm sau:

A. 0,01

B. 0,05

C. 0,08

D. 1

Hướng dẫn giải

Ta với SCA = 45°

⇒ AC = SA.tanSCA = a

Vậy

⟹ Chọn C

Câu 9. Cho hình chóp S.ABCD, lòng ABCD là hình chữ nhật với AB = 2a, AD = a. Hai mặt mày phẳng phiu (SAB) và (SAD) nằm trong vuông góc với lòng, góc thân thiện nhị mặt mày phẳng phiu (SAB) và (SBD) vì như thế 45°. Thể tích khối chóp S.ABCD là V. Tỉ số sớm nhất độ quý hiếm nào là bên dưới đây:

A. 0,25

B. 0,5

C. 0,75

D. 1,5

Hướng dẫn giải

Ta có: S_ABCD = AB.AD = 2a²

(SAB) ⊥ (ABCD) và (SAD) ⊥ (ABCD)

(SAB) ⋂ (SAD) = SA ⇒ SA ⊥ (ABCD)

Ta có:

AD ⊥ AB, AD ⊥ SA ⇒ AD ⊥ (SAB)

⇒ AD ⊥ SB. Kẻ AH ⊥ SB ⇒ SB ⊥ (AHD)

⇒ SB ⊥ HD.

Ta có:

⇒ AH = AD = a

Xét tam giác SAB vuông bên trên S có:

Vậy

⟹ Chọn C

Câu 10. Cho hình chóp S.ABC với cạnh mặt mày SA vuông góc với lòng và AB = a, AC = 2a, BAC = 120°. Mặt phẳng phiu (SBC) tạo nên với lòng một góc 60°. Tính thể tích của khối chóp S.ABC.

Hướng dẫn giải

Gọi F là hình chiếu vuông góc của A lên BC.

Khi tê liệt SF ⊥ BC, suy ra

((SBC), (ABC)) = SFA = 60°

⟹ Chọn A

Dạng 2. Khối chóp với hình chiếu của đỉnh lên trên bề mặt phẳng phiu đáy

Câu 1. Cho hình chóp S.ABCD với lòng ABCD là hình chữ nhật với AB = a, , H là trung điểm của cạnh AB. hiểu nhị mặt mày phẳng phiu (SHC) và (SHD) nằm trong vuông góc với mặt mày lòng, đường thẳng liền mạch SD tạo nên với mặt mày lòng một góc 60°. Tính thể tích của khối chóp a.

Hướng dẫn giải

Ta có:

⇒ SH ⊥ (ABCD)

⇒ SH là độ cao của hình chóp S.ABCD

Ta với HD là hình chiếu vuông góc của SD lên (ABCD)

⇒ (SD, ABCD) = (SD, HD) = SDH = 60°

⇒

Vậy

⟹ Chọn A

Câu 2. Cho hình chóp S.ABC với lòng là tam giác đều cạnh 2a, hình chiếu vuông góc của S bên trên mặt mày phẳng phiu (ABC) là trung điểm của đoạn AB, góc thân thiện đường thẳng liền mạch SC và mặt mày phẳng phiu (ABC) vì như thế 60°. Tính theo dõi a thể tích khối chóp S.ABC.

Hướng dẫn giải

Ta có: (SC, (ABC)) = SCH = 60°

⟹ Chọn B

Câu 3. Cho hình chóp S.ABC với góc thân thiện SC và mặt mày lòng vì như thế 45°, lòng ABC là tam giác vuông bên trên A với AB = 2a , góc ABC = 60° và hình chiếu của S lên trên bề mặt phẳng phiu (ABC) là trung điểm AB. Tính theo dõi a thể tích khối chóp S.ABC.

Hướng dẫn giải

Tam giác ABC vuông bên trên A:

Tam giác AHC vuông bên trên H:

SCH = (SC, (ABC)) = 45°.

Xét tam giác SHC vuông bên trên H:

⟹ Chọn A

Câu 4. Cho hình chóp S.ABC với lòng ABC là tam giác vuông bên trên B; AB = 2a, AC = 4a. Hình chiếu vuông góc của đỉnh S bên trên mặt mày phẳng phiu (ABC) là trung điểm H của đoạn AC. Góc thân thiện cạnh mặt mày SA và mp (ABC) vì như thế 60°. Tính thể tích khối chóp S.ABC.

A. V = 3a³

B. V = a³

C. V = 4a³

D. V =

Hướng dẫn giải

Ta có: SH ⊥ (ABC)

⇒ Góc thân thiện SA và (ABC) là SAH = 60°

Vậy

⟹ Chọn C

Câu 5. Cho khối chóp S.ABCD với lòng ABCD là hình chữ nhật, biết AB = 2a, AD = a. Trên cạnh AB lấy điểm M sao cho tới , cạnh AC tách MD bên trên H. hiểu SH vuông góc với mặt mày phẳng phiu (ABCD) và SH = a. Tính thể tích khối chóp S.HCD.

Hướng dẫn giải

Hai tam giác vuông AMD và DAC với nên đồng dạng,

Suy rời khỏi ADH = DCH, nhưng mà ADH + HDC = 90° ⇒ DHC = 90°

∆ADC vuông bên trên D:

Hệ thức lượng ∆ADC: DH.AC = DA.DC

Suy ra:

∆DHC vuông bên trên H:

Do tê liệt diện tích S

Thể tích khối chóp

⟹ Chọn C

Câu 6. Cho hình chóp S.ABC với ABC là tam giác vuông bên trên B, , Ngân Hàng Á Châu ACB = 60°, hình chiếu vuông góc của S lên trên bề mặt phẳng phiu (ABC) là trọng tâm tam giác ABC, gọi E là trung điểm AC biết . Tính thể tích khối chóp S.ABC.

Hướng dẫn giải

Gọi G là trọng tâm tam giác ABC

Theo fake thiết với SG ⊥ (ABC)

Xét tam giác ABC vuông bên trên B

Có

Ta với

Xét tam giác SGE vuông bên trên G với

Vậy thể tích khối chóp S.ABC là

⟹ Chọn A

Câu 7. Cho ABCD là hình vuông vắn cạnh vì như thế 1, gọi M là trung điểm AB. Qua M dựng đường thẳng liền mạch vuông góc (ABCD) và bên trên tê liệt lấy điểm S sao cho tới . Thể tích khối chóp S.ADCM, khối chóp S.BCM và khối chóp S.BCD thứu tự là x, hắn, z. Giá trị là:

A. −17,2

B. −247,6

C. 8,4

D. 5,2

Hướng dẫn giải

Ta có:

Vậy

⟹ Chọn C

Câu 8. Cho hình chóp S.ABC với lòng ABC là tam giác vuông bên trên B, , Ngân Hàng Á Châu ACB = 60°, hình chiếu vuông góc của S lên trên bề mặt phẳng phiu (ABC) là trọng tâm tam giác ABC, gọi E là trung điểm AC, góc thân thiện SE và mặt mày phẳng phiu lòng là 30°. Thể tích khối chóp S.ABC là:

Hướng dẫn giải

Gọi G là trọng tâm tam giác ABC

⇒ SG ⊥ (ABC)

Xét tam giác ABC vuông bên trên B có

Do ABC vuông bên trên B nên:

Vậy

⟹ Chọn B

Câu 9. Cho hình chóp S.ABCD với lòng ABCD là hình vuông vắn cạnh a, mặt mày mặt SAB là tam giác đều, mặt mày mặt SCD là tam giác vuông cân nặng bên trên S. Thể tích khối chóp S.ABCD là V. Tỉ số sớm nhất độ quý hiếm nào là bên dưới đây:

A. 5

B. 7

C. 8

D. 9

Hướng dẫn giải

S_ABCD = a²

Gọi M, N thứu tự là trung điểm AB và CD.

Kẻ SH ⊥ MN

Ta có: CD ⊥ MN, CD ⊥ SN

⇒ CD ⊥ (SMN)

⇒ CD ⊥ SH nhưng mà SH ⊥ MN ⇒ SH ⊥ (ABCD)

Ta với SAB là tam giác đều, SCD là tam giác vuông cân nặng bên trên S

⇒

Tam giác SMN có:

⇒ Tam giác SMN vuông bên trên S ⇒

Do vậy

⟹ Chọn B

Câu 10. Cho hình chóp S.ABCD với lòng ABCD là hình thoi cạnh a, BAC = 60°, hình chiếu vuông góc của S bên trên mặt mày phẳng phiu (ABCD) trùng với trọng tâm của tam giác ABC. Mặt phẳng phiu (SAC) phù hợp với mặt mày phẳng phiu (ABCD) góc 45°. Thể tích khối chóp S.ABCD vì như thế V. Giá trị là:

Hướng dẫn giải

Ta với BAC = 60° nên tam giác ABC đều

Gọi O = AC ⋂ BD.

Ta với AC ⊥ BD, AC ⊥ SG ⇒ AC ⊥ (SBD)

⇒ AC ⊥ SO. Mặt không giống OB ⊥ AC

⇒ ((SAC), (ABCD)) = SOB = 45°

Xét tam giác SOG vuông bên trên G:

Vậy

⟹ Chọn C

Dạng 3. Khối chóp xuất hiện mặt mày vuông góc với đáy

Phương pháp giải

Để xác lập đàng cao hình chóp tớ áp dụng quyết định lí sau:

Bài tập luyện vận dụng

Câu 1. Cho hình chóp S.ABC với lòng ABC là tam giác vuông bên trên B, BA = 3a, BC = 4a; mặt mày phẳng phiu (SBC) vuông góc với mặt mày phẳng phiu (ABC). hiểu và SBC = 30°. Tính thể tích khối chóp S.ABC.

B. V = a³

Hướng dẫn giải

Kẻ SH vuông góc BC suy rời khỏi SH vuông góc mp (ABC)

⟹ Chọn D

Câu 2. Cho hình chóp S.ABCD với lòng là hình vuông vắn cạnh vì như thế 4, mặt mày mặt SAB là tam giác đều và trực thuộc mặt mày phẳng phiu vuông góc với lòng. Gọi M, N, Phường thứu tự là trung điểm của những cạnh SD, CD, BC. Thể tích khối chóp S.ABPN là x, thể tích khối tứ diện CMNP là hắn. Giá trị x, hắn thoả mãn bất đẳng thức nào là bên dưới đây:

A. x² + 2xy − y² > 160

B. x² − 2xy + 2y² < 109

C. x² + xy − y⁴ < 145

D. x² − xy + y⁴ > 125

Hướng dẫn giải

Gọi H là trung điểm AB. Do ∆ABC đều và (SAB) ⊥ (ABCD)

Xét ∆ABC đều:

Ta có:

Gọi AN ∩ HD = {K} tớ với MK là đàng khoảng của ∆DHS

Thay vô những đáp án

⟹ Chọn C

Câu 3. Cho hình chóp S.ABCD với lòng ABCD là hình vuông vắn với cạnh a. Mặt mặt mày SAB là tam giác đều trực thuộc mặt mày phẳng phiu vuông góc với lòng ABCD. Thể tích khối chóp S.ABCD là

Hướng dẫn giải

Gọi H là trung điểm của AB.

∆SAB đều ⇒ SH ⊥ AB mà

(SAB) ⊥ (ABCD) ⇒ SH ⊥ (ABCD)

Vậy H là chân đàng cao của khối chóp.

Ta với tam giác SAB đều nên

Suy rời khỏi

⟹ Chọn B

Câu 4. Cho tứ diện ABCD với ABC là tam giác đều, BCD là tam giác vuông cân nặng bên trên D, (ABC) ⊥ (BCD) và AD phù hợp với (BCD) một góc 60°, AD = a. Thể tích tứ diện ABCD là

Hướng dẫn giải

Gọi H là trung điểm của BC. Ta với tam giác ABC đều nên AH ⊥ (BCD)

Suy ra: (AD, (BCD)) = ADH = 60°

Ta với

Suy rời khỏi

⟹ Chọn C

Câu 5. Cho hình chóp S.ABC với lòng ABC là tam giác vuông cân nặng bên trên B, với BC = a. Mặt mặt mày SAC vuông góc với lòng, những mặt mày mặt còn sót lại đều tạo nên với mặt mày lòng một góc 45°. Tính thể tích khối chóp S.ABC.

Hướng dẫn giải

Kẻ SH ⊥ BC vì như thế mp (SAC) ⊥ mp (ABC) nên SH ⊥ mp (ABC).

Gọi I, J là hình chiếu của H bên trên AB và BC ⇒ SI ⊥ AB, SJ ⊥ BC, theo dõi fake thiết SIH = SJK = 45°

Ta có: ∆SHI = ∆SHJ ⇒ HI ⊥ HJ.

Tứ giác HIBJ là hình thoi nên BH là đàng phân giác của ∆ABC kể từ tê liệt suy rời khỏi H là trung điểm của AC.

⟹ Chọn A

Câu 6. Cho hình chóp S.ABC với lòng ABC đều cạnh a, tam giác SBC vuông cân nặng bên trên S và trực thuộc mặt mày phẳng phiu vuông góc với (ABC). Tính thể tích khối chóp S.ABC.

Hướng dẫn giải

Gọi H là trung điểm của BC. Ta có:

⟹ Chọn C

Câu 7. Tứ diện ABCD với ABC và BCD là nhị tam giác đều thứu tự trực thuộc nhị mặt mày phẳng phiu vuông góc cùng nhau biết AD = a. Tính thể tích tứ diện.

Hướng dẫn giải

Ta có

Ta nhằm ý: ∆ABC = ∆DBC ⇒ AH = DH

Do tê liệt tam giác AHD vuông cân nặng bên trên H.

Suy ra: mà

Do đó:

⟹ Chọn C

Câu 8. Cho hình chóp S.ABC với BAC = 90°; ABC = 30°; SBC là tam giác đều cạnh a và (SBC) ⊥ (ABC). Tính thể tích khối chóp S.ABC

Hướng dẫn giải

Ta có:

Xem thêm: Top 6 cách hạ sốt nhanh cho người lớn mà bạn cần biết | Doctor có sẵn

Do đó:

⟹ Chọn B

Câu 9. Cho hình chóp S.ABCD với lòng ABCD là hình vuông vắn, gọi M là trung điểm của AB. Tam giác SAB cân nặng bên trên S và trực thuộc mặt mày phẳng phiu vuông góc với lòng (ABCD), biết , SC tạo nên với mặt mày lòng (ABCD) một góc 60°. Tính theo dõi a thể tích khối chóp S.ABCD

Hướng dẫn giải

Theo fake thiết tớ với SM ⊥ (ABCD)

MC là hình chiếu của SC bên trên (ABCD) nên góc thân thiện SC với mặt mày phẳng phiu (ABCD) là SCM = 60°

Trong tam giác vuông SMC và SMD tớ có:

nhưng mà ABCD là hình vuông vắn nên MC = MD

Lại với

Vậy

⟹ Chọn A

Câu 10. Cho hình chóp S.ABC với lòng ABC là tam giác vuông bên trên A, mặt mày mặt SAB là tam giác đều trực thuộc mặt mày phẳng phiu vuông góc với mặt mày phẳng phiu (ABC). hiểu AB = a, . Tính thể tích khối chóp S.ABC

Hướng dẫn giải

Gọi H là trung điểm của AB ⇒ SH ⊥ AB

Do (SAB) ⊥ (ABC) nên SH ⊥ (ABC)

Do SAB là tam giác đều cạnh a nên

Thể tích khối chóp S.ABC là

⟹ Chọn C

Dạng 4. Khối chóp đều

Phương pháp giải

Một hình chóp được gọi là hình chóp đều nếu như lòng của chính nó là 1 trong nhiều giác đều và những cạnh mặt mày vì như thế nhau

Kết quả: Trong hình chóp đều

– Đường cao hình chóp qua chuyện tâm của nhiều giác đáy

– Các cạnh mặt mày tạo nên với lòng những góc vì như thế nhau

– Các mặt mày mặt tạo nên với lòng những góc vì như thế nhau

Chú ý:

– Đề bài bác cho tới hình chóp tam giác đều (tứ giác đều) tớ hiểu là hình chóp đều

– Hình chóp tam giác đều không giống với hình chóp với lòng là nhiều giác đều vì như thế hình chóp tam giác đều thì bạn dạng thân thiện nó với lòng là tam giác đều và những cạnh mặt mày cân nhau, thưa một cách tiếp theo, hình chóp tam giác đều thì suy rời khỏi hình chóp với lòng là tam giác đều tuy nhiên điều ngược lại là ko đúng

– Hình chóp tứ giác đều là hình chóp đều phải có lòng là hình vuông

Bài tập luyện vận dụng

Câu 1. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC với cạnh lòng vì như thế a, góc thân thiện cạnh mặt mày và mặt mày lòng vì như thế 60°. Tính thể tích khối chóp S.ABC.

Hướng dẫn giải

Vì S.ABC là hình chóp đều nên ABC là tam giác đều tâm G và SG ⊥ (ABC)

Tam giác ABC đều cạnh a nên

Có AG là hình chiếu của AS bên trên (ABC) nên góc thân thiện cạnh mặt mày SA với lòng là (SA, AG) = SAG = 60° (vì SG ⊥ AG ⇒ SAG nhọn)

Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên

Trong tam giác SAG với SG = AG.tan60° = a

Vậy

⟹ Chọn B

Câu 2. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, lòng ABCD với diện tích S là 16cm², diện tích S một phía mặt mày là cm². Thể tích khối chóp S.ABCD là:

A. cm³

B. cm³

C. cm³

D. 4cm³

Hướng dẫn giải

Ta với S_ABCD = 16cm² ⇒ CD = 4cm

Xét ∆SOH vuông bên trên O có:

Vậy:

⟹ Chọn C

Câu 3. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC với những cạnh mặt mày vì như thế và tạo nên với mặt mày phẳng phiu lòng góc 60°. Thể tích khối chóp S.ABC là:

Hướng dẫn giải

Gọi G là trọng tâm ∆ABC

⇒ SG ⊥ (ABC)

Xét ∆SGA vuông bên trên G có:

∆ABC đều

Vậy

⟹ Chọn A

Câu 4. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC với cạnh lòng vì như thế a. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, góc thân thiện SG và mặt mày phẳng phiu (SBC) là 30°. Thể tích khối chóp S.ABC là:

Hướng dẫn giải

Do ABC đều nên

Do S.ABC là hình chóp tam giác đều

⇒ SG ⊥ (ABC) ⇒ SG ⊥ BC nhưng mà BC ⊥ AM ⇒ BC ⊥ (SAM)

⇒ (SBC) ⊥ (SAM)

nên hình chiếu vuông góc của SG lên (SBC) là SM

⇒ (SG, (SBC)) = (SG, SM) = GSM = 30°

Xét tam giác SGM vuông bên trên M có:

Do vậy

⟹ Chọn D

Câu 5. Cho chóp tam giác đều S.ABC cạnh lòng vì như thế a và cạnh mặt mày vì như thế 2a. Tính thể tích chóp đều S.ABC

Hướng dẫn giải

Dựng SO ⊥ (ABC) Ta với SA = SB = SC suy rời khỏi OA = OB = OC

Vậy O là tâm của tam giác đều ABC.

Ta với tam giác ABC đều nên

Vậy

⟹ Chọn A

Câu 6. Cho khối tứ diện đều ABCD cạnh vì như thế a. Tính thể tích khối tứ diện đều ABCD.

Hướng dẫn giải

Gọi O là tâm của ∆ABC

⇒ DO ⊥ (ABC)

∆DOC vuông có:

⟹ Chọn B

Câu 7. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD với cạnh lòng vì như thế 2a, cạnh mặt mày vì như thế . Tính thể tích khối chóp S.ABCD.

Hướng dẫn giải

S.ABCD là hình chóp tứ giác đều ABCD là hình vuông vắn cạnh 2a, tâm O; SO ⊥ (ABCD);

Diện tích hình vuông vắn ABCD

⇒ S.ABC_D = (2a²) = 4a²; ∆SAO vuông bên trên O với

Thể tích khối chóp S.ABCD:

⟹ Chọn C

Câu 8. Cho khối chóp tứ giác S.ABCD với toàn bộ những cạnh có tính lâu năm vì như thế a. Tính thể tích khối chóp S.ABCD.

Hướng dẫn giải

Dựng SO ⊥ (ABCD).

Ta với SA = SB = SC = SD nên OA = OB = OC = OD

⇒ ABCD là hình thoi với đàng tròn trĩnh nước ngoài tiếp nên ABCD là hình vuông vắn.

Ta có:

Vậy

⟹ Chọn B

Câu 9. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC với cạnh lòng vì như thế a, những cạnh mặt mày SA, SB, SC đều tạo nên với lòng một góc 60°. Tính thể tích của khối chóp S.ABC.

Hướng dẫn giải

Gọi H là hình chiếu của S lên mp (ABC), tớ với H là trọng tâm tam giác ABC, AH là hình chiếu của SA lên mp (ABC) nên (SAH) = 60°

Ta có:

Vậy

⟹ Chọn A

Câu 10. Cho hình chóp đều S.ABC với cạnh mặt mày vì như thế a phù hợp với lòng ABC một góc 60°. Tính thể tích hình chóp.

Hướng dẫn giải

. Tính AO. Từ tê liệt suy rời khỏi được AH

⇒ Cạnh của tam giác lòng đều.

⟹ Chọn A

Dạng 5. Tỉ lệ thể tích

Phương pháp giải

Việc tính thể tích của một khối chóp thông thường học viên giải bị nhiều sơ sót. Tuy nhiên trong những đề thi đua lại đòi hỏi học viên tính thể tích của một khối chóp “nhỏ” của khối chóp vẫn cho tới. Khi tê liệt học viên hoàn toàn có thể tiến hành những cơ hội sau:

Cách 1:

– Xác quyết định nhiều giác đáy

– Xác quyết định đàng cao (phải minh chứng đàng cao vuông gới với mặt mày phẳng phiu đáy)

– Tính thể tích khối chóp theo dõi công thức

Cách 2

– Xác quyết định nhiều giác đáy

– Tính những tỷ số chừng lâu năm của đàng cao (nếu nằm trong nhiều giác đáy) hoặc diện tích S lòng (nếu nằm trong đàng cao) của khối chóp “nhỏ” và khối chóp vẫn cho tới và Tóm lại thể tích khối cần thiết dò thám vì như thế k phen thể tích khối vẫn cho tới.

Cách 3: Dùng tỷ số thể tích (Chỉ vận dụng cho tới khối chóp (tứ diện))

Hai khối chóp S.MNK và S.ABC với đỉnh chung S và góc ở đỉnh S

Ta có:

Bài tập luyện vận dụng

Câu 1. Cho hình chóp S.ABC với tam giác ABC vuông cân nặng ở B, , SA vuông góc với lòng ABC, SA = a. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, mặt mày phẳng phiu (α) qua chuyện AG và tuy nhiên song với BC tách SC, SB thứu tự bên trên M, N. Tính thể tích của khối chóp S.AMN

Hướng dẫn giải

Ta có: và SA = a

∆ABC cân nặng có:

Vậy:

Gọi I là trung điểm BC. G là trọng tâm, tớ có:

Vậy:

⟹ Chọn A

Câu 2. Cho tam giác ABC vuông cân nặng ở A và AB = a. Trên đường thẳng liền mạch qua chuyện C và vuông góc với mặt mày phẳng phiu (ABC) lấy điểm D sao cho tới CD = a. Mặt phẳng phiu qua chuyện C vuông góc với BD, tách BD bên trên F và tách AD bên trên E. Tính thể tích khối tứ diện CDEF.

Hướng dẫn giải

Tính

Ta có: AB ⊥ AC, AB ⊥ CD ⇒ AB ⊥ (ACD)

⇒ AB ⊥ EC

Ta có: DB ⊥ EC

⇒ EC ⊥ (ABD)

Tính V_DCEF: Ta có:

(*)

Mà DE.DA = DC², phân chia cho tới DA² ⇒

Tương tự:

Từ (*) ⇒ . Vậy

⟹ Chọn B

Câu 3. Cho khối chóp tứ giác đều S.ABCD. Một mặt mày phẳng phiu (α) qua chuyện A, B và trung điểm M của SC. Tính tỉ số thể tích của nhị phần khối chóp bị phân loại vì như thế mặt mày phẳng phiu tê liệt.

Hướng dẫn giải

Kẻ MN // CD (N ∈ SD) thì hình thang ABMN là tiết diện của khối chóp Khi tách vì như thế mặt mày phẳng phiu (ABM).

Mà

Do đó:

Câu 4. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, lòng là hình vuông vắn cạnh a, cạnh mặt mày tạo nên với lòng góc 60°. Gọi M là trung điểm SC. Mặt phẳng phiu trải qua AM và tuy nhiên song với BD, tách SB bên trên E và tách SD bên trên F. Tính thể tích khối chóp S.AEMF

Hướng dẫn giải

Gọi I = SO ∩ AM. Ta với (AEMF) // BD ⇒ EF // BD

với S_ABCD= a²

∆SOA có:

Phân phân chia chóp tứ giác tớ có:

Do đó: V_{S .AEMF} = V_SAMF + V_SAME = 2V_SAMF; V_S.ABCD= 2V_SACD = 2V_S.ABC

Xét khối chóp S.AMF và S.ACD

; ∆SAC với trọng tâm I, EF // BD nên:

⟹ Chọn D

Câu 5. Cho hình chóp S.ABCD với lòng ABCD là hình vuông vắn cạnh a, SA vuông góc lòng, . Gọi B’, D’ là hình chiếu của A thứu tự lên SB, SD. Mặt phẳng phiu (AB’D’) tách SC bên trên C’. Tính thể tích khối chóp S.AB’C’D’

Hướng dẫn giải

Ta có:

Ta với BC ⊥ (SAB) ⇒ BC ⊥ AB’; SB ⊥ AB’.

Suy ra: AB’ ⊥ (SBC) nên AB’ ⊥ SC. Tương tự động AD’ ⊥ SC.

Vậy SC ⊥ (AB’D’)

Tính V_{S.AB’C’D’}

Tính V_S.AB’C’: Ta có: (*)

∆SAC vuông cân nặng nên

Ta có:

Từ (*) ⇒

Ta có:

⟹ Chọn A

Câu 6. Cho khối chóp S.ABCD với lòng ABCD là hình bình hành. Gọi B’, C’ thứu tự là trung điểm của SB và SD. Mặt phẳng phiu AB’D’ tách SC bên trên C’. Tính tỉ số thể tích của nhị khối chóp SAB’C’D’ và S.ABCD.

Hướng dẫn giải

Gọi O = AC ∩ BD. Ta với AC’, B’D’, SO đồng quy bên trên I và I là trung điểm của SO.

Kẻ OC” // AC’. Ta với SC’ = C’C” = C”C nên

Ta với

Tương tự động tớ cũng có:

Vậy

⟹ Chọn C

Câu 7. Cho khối chóp S.ABCD với lòng là hình vuông vắn cạnh a, SA vuông góc với mặt mày phẳng phiu lòng và SA = 2a. Gọi B’, D’ thứu tự là hình chiếu của A lên SB và SD. Mặt phẳng phiu (AB’D’) tách SC bên trên C’. Tính thể tích khối chóp SAB’C’D’.

Hướng dẫn giải

Ta với AB’ ⊥ SB, AB’ ⊥ CB ⇒ AB’ ⊥(SBC)

⇒ AB’ ⊥ SC (a)

Tương tự động AD’ ⊥ SC (b)

Từ (a) và (b) suy rời khỏi SC ⊥ (AB’C’D’) ⇒ SC ⊥ AC’

Do tính đối xứng, tớ với V_{SAB’C’D’} = 2V_SAB’C’

Vậy

⟹ Chọn D

Câu 8. Cho hình chóp S.ABC với SA = SB = a, SC = 2a, ASB = BSC = 60°, ASC = 90°. Thể tích của khối chóp S.ABC vì như thế V. Tỉ số là:

Hướng dẫn giải

Gọi M là trung điểm SC, tớ với SM = a

⇒ ∆SAM vuông cân nặng bên trên S. Gọi H là trung điểm của AM.

Ta với

Ta với SM = BM = a và BSC = 60° ⇒ ∆BSM đều ⇒ BM = a ⇒ ∆BSM đều

Ta với AB = BM = a ⇒ ∆ABM cân nặng bên trên B.

Mặt khác: AB² + BM² = 2a² và AM² = 2a² ⇒ AB² + BM² = AM²

⇒ ABM vuông cân nặng bên trên B (định lý pitago đảo) ⇒

Ta với

⇒ ∆SHB vuông cân nặng bên trên H (định lý pitago đảo)

Ta với SH ⊥ AM, SH ⊥ HB ⇒ SH ⊥ (ABM)

⟹ Chọn B

*Cách khác: Sử dụng công thức giải nhanh

Tổng quát: Cho chóp S.ABC với SA = a, SB = b, SC = c và ASB =α, BSC = β, ASC = γ.

Thể tích khối chóp S.ABC là:

Áp dụng vô bài bác này tớ được:

⟹ Chọn B

Câu 9. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD với lòng là hình vuông vắn ABCD cạnh a, góc thân thiện mặt mày mặt và mặt mày phẳng phiu lòng là α thoả mãn . Mặt phẳng phiu (P) qua chuyện AC và vuông góc với mặt mày phẳng phiu (SAD) phân chia khối chóp S.ABCD trở thành nhị khối nhiều diện. Tỉ lệ thể tích nhị khối nhiều diện là sớm nhất với độ quý hiếm nào là trong những độ quý hiếm sau:

A. 0,11

B. 0,13

C. 0,7

D. 0,9

Hướng dẫn giải

S.ABCD là hình chóp tứ giác đều SO ⊥ (ABCD). Gọi N là trung điểm CD

Kẻ CM ⊥ SD. Ta có

Nên mặt mày phẳng phiu (P) là (ACM)

Xét tam giác SON vuông bên trên N có:

Xét tam giác SOD vuông bên trên O có:

Ta với

Xét tam giác MCD vuông bên trên M có:

Ta có:

Mặt phẳng phiu (P) phân chia khối chóp S.ABCD trở thành 2 khối MACD và S.ABCM

Do đó:

⟹ Chọn A

Tổng quát: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD với lòng là hình vuông vắn ABCD cạnh a, góc thân thiện mặt mày mặt và mặt mày phẳng phiu lòng là α. Mặt phẳng phiu (P) qua chuyện AC vuông góc với mặt mày phẳng phiu (SAD) phân chia khối chóp S.ABCD trở thành nhị khối nhiều diện. Tỉ lệ thể tích nhị khối nhiều diện là .

Chứng minh:

Ta có:

Do vậy:

Câu 10. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC với cạnh lòng vì như thế a. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, góc thân thiện SG và mặt mày phẳng phiu (SBC) là 30°. Mặt phẳng phiu (P) chứa chấp BC và vuông góc với SA phân chia khối chóp S.ABC trở thành nhị phần. Tỉ số thể tích nhị phần là: