Logarit

By Admin 28/03/2024 0
Graph showing a logarithmic curve, crossing the x-axis at x= 1 and approaching minus infinity along the y-axis.
Đồ thị của hàm logarit cơ số 2 hạn chế trục hoành bên trên x = 1 và trải qua những điểm (2, 1), (4, 2), và (8, 3), thể hiện tại rằng, ví dụ điển hình, log2(8) = 3 và 23 = 8. Khi x càng sát 0 thì đồ gia dụng thị dần dần tiệm cận trục tung, tuy nhiên ko hạn chế trục bại.
Phép tính số học
  • x
  • t
  • s
Phép nằm trong (+)
Phép trừ (−)
Phép nhân (×)
Phép phân chia (÷)
Lũy thừa
Căn bậc n (√)
Logarit (log)

Trong toán học tập, logarit (tiếng Anh: logarithm) của một vài là lũy quá tuy nhiên một độ quý hiếm cố định và thắt chặt, gọi là cơ số, cần được thổi lên muốn tạo đi ra số bại. Ví dụ, logarit cơ số 10 của 1000 là 3 vì như thế 1000 là 10 lũy quá 3: 1000 = 10 × 10 × 10 = 103. Tổng quát tháo rộng lớn, nếu như x = by thì y được gọi là logarit cơ số b của x và được ký hiệu là logb x.

Logarit tự John Napier trình làng lượt thứ nhất nhập năm 1614 như là một trong phương pháp để đơn giản và giản dị hóa việc đo lường và tính toán. Về sau, nó sẽ bị nhanh gọn lẹ được rất nhiều mái ấm khoa học tập dùng nhằm tương hỗ nhập đo lường và tính toán, nhất là những phép tắc tính đòi hỏi chừng đúng mực cao, trải qua thước loga và bảng logarit. Các khí cụ này dựa vào đặc điểm rằng logarit của một tích vì như thế tổng những logarit của những quá số:

Bạn đang xem: Logarit

Khái niệm logarit như thời nay tới từ Leonhard Euler, người tiếp tục tương tác nó với hàm nón nhập thế kỷ 18.

Logarit cơ số 10 (b = 10) được gọi là logarit thập phân và có khá nhiều phần mềm nhập khoa học tập và nghệ thuật. Logarit bất ngờ với cơ số là hằng số e (b ≈ 2,718) và được phần mềm thông dụng nhất nhập toán học tập và cơ vật lý, nhất là vi tích phân. Logarit nhị phân dùng cơ số 2 (b = 2) và được dùng tối đa nhập khoa học tập PC.

Thang đo logarit được chấp nhận thu hẹp những đại lượng độ dài rộng rộng lớn về phạm vi nhỏ rộng lớn. Chẳng hạn, decibel (dB) là đơn vị chức năng logarit ấn định lượng áp suất tiếng động và tỉ lệ thành phần hiệu năng lượng điện thế. Trong chất hóa học, pH là một trong đơn vị chức năng logarit dùng để làm đo chừng axit hoặc base của hỗn hợp nước. Logarit cũng thông dụng nhập công thức khoa học tập, trong công việc phân tích chừng phức tạp đo lường và tính toán hoặc những phân dạng. Nó tương hỗ tế bào mô tả tỉ lệ thành phần tần số của những quãng nhập âm thanh, xuất hiện tại nhập công thức điểm số thành phần, tính sấp xỉ một giai quá, phân tích một vài quy mô nhập tâm cơ vật lý học tập và được phần mềm nhập nghành nghề dịch vụ kế toán tài chính khảo sát.

Giống như cơ hội logarit hòn đảo ngược phép tắc lũy quá, logarit phức là hàm ngược của hàm lũy quá nhập số phức. Một dạng không giống của logarit là logarit tách rộc rạc, một hàm ngược nhiều trị của hàm nón nhập group hữu hạn, với một vài phần mềm nhập mật mã hóa khóa công khai minh bạch.

Cơ sở và ấn định nghĩa[sửa | sửa mã nguồn]

Phép nằm trong, phép tắc nhân và lũy quá là thân phụ trong số phép tắc toán số học tập cơ bạn dạng nhất. Phép toán ngược lại với phép tắc nằm trong là phép tắc trừ, ngược lại với phép tắc nhân là phép tắc phân chia. Một cơ hội tương tự động, logarit là phép tắc toán ngược lại với lũy quá. Lũy quá tức là lúc một vài b, gọi là cơ số, được thổi lên lũy quá y, gọi là số mũ, khiến cho độ quý hiếm x, ký hiệu là

Ví dụ, 2 thổi lên lũy quá 3 vì như thế 8, vì như thế 8 là tích của thân phụ quá số 2 nhân với nhau: 23 = 2 × 2 × 2 = 8. Phép lũy quá hoàn toàn có thể được không ngừng mở rộng mang lại từng số thực y.[1]

Logarit cơ số b đó là phép tắc toán ngược, mang lại độ quý hiếm là y kể từ một vài x lúc đầu. Có tức thị, y = logb x tương tự với x = by với b là số thực dương. (Nếu b ko cần là số thực dương, phép tắc lũy quá và logarit vẫn xác lập tuy nhiên hoàn toàn có thể cho những độ quý hiếm không giống nhau, kéo đến việc khái niệm phức tạp rộng lớn.)

Một trong mỗi hạ tầng lịch sử hào hùng cho việc thành lập và hoạt động của logarit là công thức

cho phép tắc đem những phép tắc tính nhân và tạo thành phép tắc nằm trong, phép tắc trừ và việc tra cứu vớt bảng số logarit (trước Lúc PC được trừng trị minh).

Định nghĩa[sửa | sửa mã nguồn]

Logarit cơ số b của một vài thực dương x là số nón tuy nhiên b cần được được thổi lên để sở hữu được x. Nói cách tiếp theo, logarit cơ số b của x là nghiệm y của phương trình

và được ký hiệu là logb x.[2] Để độ quý hiếm của logarit được xác lập thì cơ số b cần là một vài thực dương không giống 1 và x là một vài dương.[nb 1]

Ví dụ[sửa | sửa mã nguồn]

Ta với log2 16 = 4 vì như thế 24 = 2 × 2 × 2 × 2 = 16. Logarit hoàn toàn có thể là số âm:

vì như thế

Một ví dụ khác: log10150 sát vì như thế 2,176, một vài nằm trong lòng 2 và 3, tương tự như Lúc 150 nằm trong lòng 102 = 100 và 103 = 1000. Cuối nằm trong, với từng cơ số b thì logb b = 1 và logb 1 = 0 vì như thế b1 = b và b0 = 1.

Các tương đồng thức logarit[sửa | sửa mã nguồn]

Các công thức cần thiết tại đây, gọi là đồng nhất thức logarit, tương tác những logarit cùng nhau.[3]

Tích, thương, lũy quá và căn[sửa | sửa mã nguồn]

Logarit của một tích là tổng những logarit của những quá số; logarit của một thương bao gồm nhị số là hiệu logarit của nhị số bại. Logarit của một vài lũy quá p vì như thế p lượt logarit của số đó; logarit của một vài căn bậc p là logarit của số bại phân chia mang lại p. Bảng tiếp sau đây liệt kê những phép tắc tính logarit cơ bạn dạng nêu bên trên và những ví dụ.

Công thức Ví dụ
Tích
Thương
Lũy thừa
Căn

Đổi cơ số[sửa | sửa mã nguồn]

Logarit logbx hoàn toàn có thể được xem kể từ logarit cơ số trung lừa lọc k của x và b theo đuổi công thức:[nb 2]

Các PC thu về nổi bật thông thường tính logarit cơ số 10 và e.[4] Logarit cơ số b ngẫu nhiên hoàn toàn có thể được xác lập bằng phương pháp đem 1 trong nhị logarit quan trọng này nhập công thức trên:

Cho một vài x và logarit cơ số b của chính nó logbx với b chưa chắc chắn, thì b được xem bằng

bằng cơ hội nón hóa biểu thức lên số mũ

Các cơ số quánh biệt[sửa | sửa mã nguồn]

Đồ thị của thân phụ hàm số logarit thông dụng nhất với cơ số 2, e và 10

Trong những độ quý hiếm của cơ số b, với thân phụ cơ số quan trọng. Chúng bao gồm b = 10, b = e (hằng số vô tỉ xấp xỉ vì như thế 2,71828) và b = 2. Trong giải tích toán học tập, logarit cơ số e là thông dụng nhất nhờ những đặc điểm được phân tích và lý giải tiếp sau đây. Mặt không giống, hoàn toàn có thể đơn giản và dễ dàng tính logarit cơ số 10 nhập hệ thập phân:[5]

Do bại, log10x với tương tác với số chữ số của một vài nguyên vẹn dương x: này đó là số nguyên vẹn nhỏ nhất to hơn log10x.[6] Chẳng hạn, log101430 sát vì như thế 3,15. Số nguyên vẹn ngay tắp lự sau là 4 và là số chữ số nhập số 1430. Logarit cơ số e và logarit cơ số 2 thông thường được sử dụng nhập lý thuyết vấn đề, với tương quan cho tới nhị đơn vị chức năng cơ bạn dạng nhất nhập vấn đề là nat và bit.[7] Logarit cơ số 2 cũng rất được dùng nhập khoa học tập PC (hệ nhị phân); nhập lý thuyết âm thanh (quãng tám, đơn vị chức năng cent) và nhập nhiếp hình họa nhằm đo độ quý hiếm bầy sáng sủa.[8]

Bảng tiếp sau đây liệt kê những ký hiệu logarit thông thườn và nghành nghề dịch vụ tuy nhiên bọn chúng được dùng. Một số tư liệu ghi chép logx chứ không logbx Lúc cơ số của logarit là cố định và thắt chặt tùy từng tình huống. Cột "Ký hiệu ISO" liệt kê những ký hiệu tự Tổ chức xài chuẩn chỉnh hóa quốc tế khuyến nghị (ISO 80000-2).[9]

Cơ số b Tên gọi của logbx Ký hiệu ISO Các ký hiệu khác Sử dụng trong
2 logarit nhị phân lb x[10] ld x,[11] log x,[12] lg x,[13] log2x khoa học tập PC, lý thuyết vấn đề, lý thuyết âm thanh, nhiếp ảnh
e logarit tự động nhiên ln x[nb 3] log x
(trong toán học[17] và nhiều ngôn từ lập trình[nb 4]) 		toán học tập, cơ vật lý, chất hóa học,
thống kê, tài chính học tập, lý thuyết vấn đề và kỹ thuật
10 logarit thập phân lg x log x,[18] log10x
(trong nghệ thuật, sinh học tập, thiên văn học) 		nhiều nghành nghề dịch vụ nhập nghệ thuật (xem decibel và mục Ứng dụng),
bảng logarit, PC thu về, phổ học

Lịch sử[sửa | sửa mã nguồn]

Trước Lúc logarit xuất hiện[sửa | sửa mã nguồn]

Từ thế kỷ 3 TCN, nhập cuốn Người điểm cát, Archimedes tiếp tục để ý và thể hiện định nghĩa rằng "bậc" của một vài tương tự với số nón của lũy quá cơ số 108 = 100.000.000. Ông cũng nhắc tới quy tắc nhân nhị số cùng nhau bằng phương pháp nằm trong "bậc" của bọn chúng lại cùng nhau. Nguyên lý này về sau là một trong hạ tầng dẫn đến việc thành lập và hoạt động định nghĩa logarit.[19] Khoảng 1000 năm tiếp sau đó, Virasena, một mái ấm toán học tập Kỳ Na người đè Độ, dò xét đi ra định nghĩa ardhacheda: số lượt một vài hoàn toàn có thể phân chia không còn mang lại 2. Với lũy quá của 2, bại đó là độ quý hiếm nguyên vẹn của logarit cơ số 2, còn so với những số không giống thì độ quý hiếm bại ko vì như thế logarit của bọn chúng. Thời điểm bại, ông đã và đang trừng trị hiện tại và trình làng tăng nhị định nghĩa tương tự động là trakacheda (cơ số 3) và caturthacheda (cơ số 4).[20][21] Năm 1544, Michael Stifel mang lại xuất bạn dạng cuốn Arithmetica Integra với có một bảng số nguyên vẹn và lũy quá của 2 ứng,[22] tuy nhiên Lúc hòn đảo ngược những sản phẩm lại thì hoàn toàn có thể sẽ là dạng lúc đầu của bảng logarit.[23] Đến thế kỷ 16–17, nghệ thuật prosthaphaeresis (tạm dịch: thuật nhân và phân chia số vì như thế những công thức lượng giác) xuất hiện tại và được dùng để làm gửi phép tắc nhân trở thành phép tắc nằm trong trải qua những đẳng thức lượng giác.[24][25]

Từ Napier cho tới Euler[sửa | sửa mã nguồn]

John Napier, người phát minh sáng tạo đi ra logarit

Khái niệm logarit tự John Napier công thân phụ lượt thứ nhất nhập năm 1614 nhập một cuốn sách với tựa đề là Mirifici logarithmorum canonis descriptio.[26][27] Nó với tương quan cho tới những điểm hoạt động thẳng: Napier tiếp tục tưởng tượng một điểm loại nhất P hoạt động tới điểm cuối của một quãng trực tiếp với véc tơ vận tốc tức thời hạn chế dần dần, và điểm loại nhị L hoạt động đều bên trên 50% đường thẳng liền mạch với chừng lâu năm vô hạn, tiếp sau đó tương tác khoảng cách thân thuộc P với điểm cuối của đoạn trực tiếp và thân thuộc L với điểm đầu của nửa đường thẳng liền mạch nhằm nêu đi ra khái niệm logarit.[28] Phát hiện tại này được nhận xét cao và nhanh gọn lẹ mở rộng thanh lịch nhiều vương quốc không giống, bao hàm Trung Quốc và một vài nước ở châu Âu trong mỗi năm tiếp sau đó.[29] Jost Bürgi cũng dò xét đi ra logarit một cơ hội song lập tuy nhiên xuất bạn dạng công trình xây dựng của tôi sáu năm tiếp theo Napier.[30] Từ logarithmorum của Napier nhập giờ Latinh với xuất xứ kể từ giờ Hy Lạp, chỉ một vài biểu thị tỉ số: λόγος (logos) tức là "tỉ số" và ἀριθμός (arithmos) tức là "số".

Năm 1647, Grégoire de Saint-Vincent, một tu sĩ Dòng Tên người Bỉ sinh sống bên trên Prague, xuất bạn dạng một công trình xây dựng tương tác logarit với cầu phương của một hyperbol. Ông cho là diện tích S f(t) số lượng giới hạn vì như thế hyperbol kể từ x = 1 cho tới x = t thỏa mãn

Alphonse Antonio de Sarasa, một học tập trò và tập sự của ông, về sau tiếp tục tương tác đặc điểm này với logarit nhằm kéo đến định nghĩa logarit hyperbol, tương tự với logarit bất ngờ.[31] Logarit bất ngờ lượt thứ nhất được tế bào mô tả nhập cuốn Logarithmotechnia của Nicholas Mercator năm 1668.[32] Khoảng năm 1730, Leonhard Euler khái niệm hàm nón và hàm logarit bất ngờ bằng

Euler cũng minh chứng được rằng nhị hàm số này là nhị hàm ngược nhau.[33] Cũng trong vòng thời hạn này, ông lượt thứ nhất ký hiệu cơ số của logarit bất ngờ bằng văn bản e.[34]

Trong chương 6, luyện I của cục Introductio in analysin infinitorum (1748), Euler thể hiện một phía tiếp cận tương tự với định nghĩa logarit lúc bấy giờ. Ông nhận ra hàm nón y = az với a là một vài thực dương ko thay đổi ko cần là một trong hàm số đại số, tuy nhiên là một trong hàm số siêu việt; đôi khi, nó cũng chính là hàm số tăng Lúc a > 1. Khi bại, từng số a đều ứng với 1 hàm ngược được gọi là logarit cơ số a: z = logay.[35]

Bảng logarit, thước loga và phần mềm lịch sử[sửa | sửa mã nguồn]

Khái niệm logarit nhập Encyclopædia Britannica (năm 1797)

Bằng cơ hội đơn giản và giản dị hóa những phép tắc tính phức tạp trước lúc PC thành lập và hoạt động, logarit góp phần đáng chú ý cho việc trở nên tân tiến của khoa học tập, nhất là thiên văn học tập. Nó cũng góp phần cho việc tiến bộ cỗ của tham khảo kiến tạo, sản phẩm hải thiên văn và nhiều nghành nghề dịch vụ không giống. Pierre-Simon Laplace tiếp tục gọi logarit là

"...[một] mẹo nhỏ xứng đáng ngưỡng mộ hoàn toàn có thể tinh giảm một việc làm kể từ vài ba mon xuống còn vài ba ngày, kể từ bại kéo dãn cuộc sống trong phòng thiên văn lên gấp rất nhiều lần, và vô hiệu hóa những sơ sót na ná sự ngán chán nản ko thể tách tách ngoài những phép tắc tính lâu năm lê thê."[36]

Một khí cụ thêm phần rộng lớn trong công việc phần mềm logarit nhập thực tiễn là bảng logarit.[37] Bảng thứ nhất như thế tự Henry Briggs biên soạn năm 1617 tức thì sau phát minh sáng tạo của Napier, tiếp này đó là những bảng số với phạm vi và chừng đúng mực to hơn. Các bảng số này liệt kê những độ quý hiếm của logbx và bx với từng số x trực thuộc một số lượng giới hạn chắc chắn, với chừng đúng mực chắc chắn theo đuổi một cơ số b chắc chắn (thường là cơ số 10). Chẳng hạn, bảng thứ nhất của Briggs chứa chấp logarit thập phân của toàn bộ những số nguyên vẹn từ là một cho tới 1000 đúng mực cho tới 14 chữ số thập phân. Vì hàm f(x) = bx là hàm ngược của logb x nên nó còn được gọi là antilogarit.[38] Tích và thương của nhị số dương c và d thông thường được xem vì như thế tổng và hiệu những logarit của bọn chúng. Tích cd hoặc thương c/d đạt được bằng phương pháp tra cứu vớt antilogarit của tổng và hiệu bại trải qua bảng logarit đó:

và

Đối với những phép tắc tính thường thì đòi hỏi chừng đúng mực cao, việc tra cứu vớt nhị logarit, tính tổng hoặc hiệu của bọn chúng rồi tra cứu vớt antilogarit thời gian nhanh rộng lớn thật nhiều đối với Lúc triển khai phép tắc nhân vì như thế những khí cụ trước đó như prosthaphaeresis, vốn liếng tùy theo những đẳng thức lượng giác. Phép tính lũy quá và căn được đem về phép tắc nhân hoặc phép tắc phân chia và tra cứu vớt theo đuổi công thức

và

Nhiều bảng số còn liệt kê những độ quý hiếm logarit bằng phương pháp cho biết thêm phần quánh số và phần ấn định trị của x, tức thị phần nguyên vẹn và phần thập phân của log10 x.[39] Đặc số của 10 · x là một trong những nằm trong mang lại quánh số của x, và phần ấn định trị của bọn chúng là tương tự nhau. Tính hóa học này thực hiện không ngừng mở rộng phạm vi của bảng logarit: với 1 bảng liệt kê những độ quý hiếm của log10 x với từng số nguyên vẹn x từ là một cho tới 1000, logarit cơ số 10 của 3542 được xem sấp xỉ bằng

Một phần mềm cần thiết không giống của logarit là thước loga, một cặp thước phân chia chừng theo đuổi logarit được dùng nhập đo lường và tính toán, như hình minh họa bên dưới đây:

Sơ đồ gia dụng mô tả thước loga. Bắt đầu từ vựng trí 2 ở thước bên dưới, nằm trong khoảng cách cho tới 3 ở thước bên trên nhằm đạt tích vì như thế 6. Thước loga sinh hoạt được vì như thế nó được phân chia chừng sao mang lại khoảng cách từ là một cho tới x tỉ lệ thành phần thuận với logarit của x.

Tiền thân thuộc của chính nó, thước Gunter, được phát minh sáng tạo tức thì sau công thân phụ của Napier. William Oughtred tiếp sau đó tiếp tục trở nên tân tiến nó lên trở thành thước loga, một cặp thước logarit hoàn toàn có thể trượt cho nhau. Các số được bịa bên trên thước với khoảng cách về chừng lâu năm tỉ lệ thành phần thuận với hiệu những logarit của bọn chúng. Khi trượt thước bên trên tức là tớ tiếp tục nằm trong cơ học tập những logarit cùng nhau. Ví dụ, nằm trong khoảng cách từ là một cho tới 2 ở thước bên dưới với khoảng cách từ là một cho tới 3 ở thước bên trên mang lại tích của bọn chúng vì như thế 6, và độ quý hiếm này được phát âm ở thước bên dưới. Thước loga từng là một trong khí cụ đo lường và tính toán quan trọng nhất của những mái ấm khoa học tập cho tới những năm 1970, vì như thế nó được chấp nhận đo lường và tính toán thời gian nhanh rất nhiều đối với nghệ thuật tra bảng số.[40]

Tính hóa học nhập giải tích[sửa | sửa mã nguồn]

Người tớ phân tích sâu sắc rộng lớn về logarit trải qua định nghĩa hàm số. Hàm số là quy tắc mang lại một vài độc nhất kể từ một vài ngẫu nhiên mang lại trước.[41] Ví dụ, hàm số mang lại lũy quá bậc x của b kể từ ngẫu nhiên số thực x này với b là cơ số được ghi chép là

Hàm số logarit[sửa | sửa mã nguồn]

Để phân tích và lý giải khái niệm logarit, cần được minh chứng rằng phương trình

có một nghiệm x độc nhất với y và b là số dương và b không giống 1. Để minh chứng điều này, tớ sử dụng ấn định lý độ quý hiếm trung lừa lọc nhập giải tích sơ cấp cho.[42] Theo ấn định lý, một hàm số liên tiếp mang lại nhị độ quý hiếm m và n cũng mang lại ngẫu nhiên độ quý hiếm này nằm trong lòng m và n. Hàm số liên tiếp là hàm tuy nhiên đồ gia dụng thị hoàn toàn có thể vẽ bên trên mặt mũi bằng phẳng tọa chừng tuy nhiên ko cần thiết nhấc cây viết lên.

Tính hóa học này hoàn toàn có thể được minh chứng là đích với hàm f(x) = bx. Vì f hoàn toàn có thể đem độ quý hiếm dương rộng lớn hoặc nhỏ tùy ý, nên từng số y > 0 đều nằm trong lòng f(x0) và f(x1) với x0 và x1 phù hợp. Do bại, ấn định lý độ quý hiếm trung lừa lọc đảm nói rằng phương trình f(x) = y với 1 nghiệm. Hơn nữa, nghiệm này là độc nhất vì như thế hàm số f là hàm số tăng nếu như b > 1 và là hàm số hạn chế nếu như 0 < b < 1.[43]

Nghiệm x bại đó là logarit cơ số b của y, logby. Hàm số gán mang lại y độ quý hiếm logarit của chính nó được gọi là hàm số logarit. Hàm số logarit y = logb x xác lập bên trên giao hội số thực dương, mang lại độ quý hiếm là một vài thực ngẫu nhiên, và là hàm số tăng độc nhất thỏa mãn nhu cầu f(b) = 1 và f(uv) = f(u) + f(v).[44]

Hàm ngược[sửa | sửa mã nguồn]

Đồ thị của hàm logarit logb(x) (màu xanh) đối xứng với đồ gia dụng thị của hàm nón bx (màu đỏ) theo đuổi đường thẳng liền mạch x = y.

Công thức logarit của một lũy quá đã cho thấy với một vài x ngẫu nhiên,

Lần lượt lấy lũy quá bậc x của b rồi lấy logarit cơ số b, tớ lại đạt được x. trái lại, với một vài dương y ngẫu nhiên, biểu thức

cho thấy Lúc lấy logarit rồi lũy quá, tớ lại đạt được y. Như vậy, Lúc đôi khi triển khai phép tắc lũy quá và logarit nhập nằm trong một vài, tớ đạt được số lúc đầu. Vì vậy, logarit cơ số b là hàm ngược của f(x) = bx.[45]

Hàm ngược với tương tác quan trọng với hàm số gốc lúc đầu. Đồ thị của bọn chúng đối xứng nhau qua loa đường thẳng liền mạch x = y như hình mặt mũi phải: một điểm (t, u = bt) nhập đồ gia dụng thị của f(x) ứng với điểm (u, t = logbu) nhập đồ gia dụng thị của hàm logarit và ngược lại. Như vậy, logb(x) phân kỳ lên vô hạn (lớn rộng lớn ngẫu nhiên số này tiếp tục biết) nếu như x tăng cho tới vô hạn, với b to hơn 1. Trong tình huống này, logb(x) là hàm số tăng. Khi b < 1 thì ngược lại, logb(x) dần dần về âm vô hạn. Khi x dần dần về 0 thì số lượng giới hạn của logbx là âm vô hạn với b > 1 và là dương vô hạn với b < 1.

Đạo hàm và nguyên vẹn hàm[sửa | sửa mã nguồn]

Đồ thị của hàm logarit bất ngờ (màu xanh rờn lá) và tiếp tuyến của chính nó bên trên x = 1,5 (màu đen)

Các đặc điểm giải tích của hàm số cũng như với hàm ngược của bọn chúng.[42] f(x) = bx là một trong hàm số liên tiếp và khả vi, và logby cũng vậy. Một cơ hội phiên phiến rằng, một hàm số liên tiếp là hàm số khả vi nếu như đồ gia dụng thị của chính nó không xẩy ra "đứt gãy" ở bất kể điểm này. Hơn nữa, vì như thế đạo hàm của f(x) vì như thế ln(b)bx theo đuổi đặc điểm của hàm nón nên theo đuổi quy tắc hàm hợp ý, đạo hàm của logbx được xem bằng

tức là thông số góc của tiếp tuyến đồ gia dụng thị hàm logarit cơ số b bên trên điểm (x, logb(x)) vì như thế 1/(x ln(b)).[43][46] điều đặc biệt, đạo hàm của ln(x) là 1/x, tức thị nguyên vẹn hàm của 1/x vì như thế ln(x) + C. Đạo hàm với đối số hàm tổng quát tháo f(x) là

Tỉ số ở vế cần được gọi là đạo hàm logarit của f(x). Việc tính f'(x) vì như thế đạo hàm của ln(f(x)) được gọi là vi phân logarit.[47] Nguyên hàm của hàm logarit bất ngờ ln(x) là:[48]

Từ phương trình này, hoàn toàn có thể suy đi ra những công thức tương quan ví dụ như nguyên vẹn hàm của logarit cơ số không giống vì như thế phép tắc thay đổi cơ số.[49]

Biểu thao diễn tích phân của logarit tự động nhiên[sửa | sửa mã nguồn]

Logarit bất ngờ của t là diện tích S phần hình được tô đậm ở bên dưới đồ gia dụng thị hàm số f(x) = 1/x (nghịch hòn đảo của x).

Logarit bất ngờ của t vì như thế tích phân của 1/x dx từ là một cho tới t:

Nói cách tiếp theo, ln(t) là diện tích S của hình bằng phẳng số lượng giới hạn vì như thế trục hoành và đồ gia dụng thị của hàm số 1/x, kể từ x = 1 cho tới x = t (hình mặt mũi phải). Đó là hệ trái khoáy từ các việc vận dụng ấn định lý cơ bạn dạng của giải tích và việc đạo hàm của ln(x) là 1/x. Vế cần của phương trình bên trên hoàn toàn có thể sẽ là định nghĩa về logarit bất ngờ. Các công thức logarit của tích và lũy quá đều hoàn toàn có thể được suy đi ra kể từ định nghĩa này.[50] Chẳng hạn, tớ với công thức tích ln(tu) = ln(t) + ln(u) vì

Đẳng thức (1) phân chia tích phân trở thành nhị phần, còn đẳng thức (2) là phép tắc thay đổi trở nên số (w = x/t). Trong hình tiếp sau đây, phép tắc tách tích phân này tức là phân chia hình bằng phẳng trở thành nhị phần gold color và màu xanh lá cây. Thay thay đổi độ dài rộng phần hình bằng phẳng màu xanh lá cây phía trái theo đuổi sản phẩm dọc tỉ lệ thành phần theo đuổi trở nên t và thu nhỏ lại nó theo đuổi sản phẩm ngang theo đuổi tỉ lệ thành phần bại ko thực hiện thay cho thay đổi diện tích S của chính nó. Di gửi phần hình màu xanh lá cây một cơ hội phù hợp thì này lại khớp với đồ gia dụng thị hàm số f(x) = 1/x. Do bại, phần hình bằng phẳng màu xanh lá cây phía trái, tức là tích phân của f(x) kể từ t cho tới tu vì như thế tích phân từ là một cho tới u. Tính hóa học này phân tích và lý giải mang lại đẳng thức (2) một cơ hội trực quan tiền.

Hình hình họa minh họa công thức tích của logarit tự động nhiên

Chứng minh tương tự động, tớ cũng đều có công thức lũy quá ln(tr) = r ln(t):

Phép đổi khác loại nhị với sự thay cho thay đổi trở nên số w = x1/r.

Tổng của sản phẩm nghịch tặc hòn đảo những số bất ngờ,

được gọi là chuỗi điều tiết. Nó với tương tác với logarit tự động nhiên: Lúc n tiến bộ cho tới vô hạn thì hiệu

hội tụ về một vài được gọi là hằng số Euler–Mascheroni γ = 0,5772.... Mối tương tác này còn có tầm quan trọng trong công việc phân tách sinh hoạt của những thuật toán, ví dụ như bố trí thời gian nhanh.[51]

Ngoài đi ra, ln(x) còn tồn tại một màn biểu diễn tích phân được suy đi ra kể từ tích phân Frullani Lúc f(x) = e−x và a = 1, được phần mềm nhập cơ vật lý và một vài tình huống khác:[52]

Tính siêu việt[sửa | sửa mã nguồn]

Số thực ko cần là số đại số được gọi là số siêu việt.[53] π và e là nhị số như thế, còn thì ko cần. Hầu không còn số thực đều là số siêu việt. Logarit là một trong ví dụ về một hàm số siêu việt. Định lý Gelfond–Schneider xác định rằng logarit thông thường cho những độ quý hiếm siêu việt.[54]

Xem thêm: Bộ sưu tập hình nền cỏ xanh tuyệt vời

Tính toán[sửa | sửa mã nguồn]

Các phím logarit (LOG mang lại cơ số 10 và LN mang lại cơ số e) nhập một PC thu về TI-83 Plus

Ta đơn giản và dễ dàng tính được logarit nhập một vài tình huống, ví dụ như log10(1000) = 3. Tổng quát tháo, logarit hoàn toàn có thể tính vì như thế chuỗi lũy quá hoặc khoảng hình học–đại số, hoặc tra cứu vớt nhập bảng số logarit tính sẵn với chừng đúng mực chắc chắn.[55][56] Phương pháp Newton, một cách thức lặp chuồn tái diễn nhằm dò xét nghiệm sấp xỉ của một phương trình, cũng hoàn toàn có thể được dùng nhằm tính logarit, vì như thế hàm ngược của chính nó (hàm mũ) hoàn toàn có thể tính được một cơ hội với hiệu suất cao.[57] Thông qua loa bảng số, những cách thức tương tự động như CORDIC hoàn toàn có thể dùng để làm tính logarit chỉ qua loa phép tắc nằm trong và phép tắc dịch bit.[58][59] Hơn nữa, thuật toán logarit nhị phân tính lb(x) một cơ hội đệ quy phụ thuộc vào phép tắc bình phương x lặp chuồn tái diễn và vận dụng biểu thức

Chuỗi lũy thừa[sửa | sửa mã nguồn]

Chuỗi Taylor[sửa | sửa mã nguồn]

Chuỗi Taylor của ln(z) với tâm bên trên z = 1. Hình hình họa động này thể hiện tại 10 xấp xỉ thứ nhất nằm trong xấp xỉ loại 99 và 100. Các xấp xỉ này sẽ không quy tụ ngoài khoảng cách 1 đơn vị chức năng kể từ tâm.

Với từng số thực z thỏa mãn nhu cầu 0 < z ≤ 2, tớ có:[60][nb 5]

Nói một cơ hội ngắn ngủi gọn gàng, ln(z) hoàn toàn có thể được xem sát phù hợp sản phẩm biểu thức

Ví dụ, với z = 1,5, biểu thức loại thân phụ mang lại thành quả là 0,4167, to hơn khoảng chừng 0,011 đối với ln(1,5) = 0,405465. Chuỗi này ước tính ln(z) với chừng đúng mực tùy ý, miễn rằng số hạng tử là đầy đủ rộng lớn. Trong giải tích sơ cấp cho, ln(z) còn được gọi là số lượng giới hạn của chuỗi. Nó là chuỗi Taylor của logarit bất ngờ bên trên z = 1. điều đặc biệt, nếu để z = 1 + x thì chuỗi bên trên được ghi chép lại trở thành chuỗi Mercator

với −1 < x ≤ 1.[60] Chuỗi này tự Isaac Newton và Nicholas Mercator dò xét đi ra một cơ hội song lập và xuất hiện tại lượt thứ nhất nhập cuốn Logarithmotechnia của Mercator năm 1668.[61][62] Ví dụ, Lúc x = 0,1 thì xấp xỉ số 1 của chuỗi này mang lại độ quý hiếm là 0,1 với sai số bên dưới 5% đối với thành quả và đúng là ln(1,1) = 0,0953. Từ chuỗi Taylor của ln(1 + x) và ln(1 − x) (có được bằng phương pháp thay cho x vì như thế −x nhập chuỗi Mercator), tớ suy ra

với −1 < x < 1.[63] Chuỗi này tự James Gregory trừng trị hiện tại năm 1668 và hoàn toàn có thể được vận dụng nhằm tính logarit bất ngờ của một vài dương ngẫu nhiên.[64]

Các chuỗi lũy quá khác[sửa | sửa mã nguồn]

Một chuỗi không giống được dựa vào hàm hyperbolic ngược:

với từng số thực z > 0.[60][nb 6] Sử dụng ký hiệu sigma, chuỗi bên trên hoàn toàn có thể được ghi chép lại thành

Chuỗi bên trên được suy đi ra kể từ chuỗi Taylor của bằng phương pháp bịa .[64] Nó quy tụ thời gian nhanh rất nhiều đối với chuỗi Taylor, nhất là lúc z sát vì như thế 1. Chẳng hạn, với z = 1,5, thân phụ hạng tử thứ nhất của chuỗi tính được sấp xỉ ln(1,5) với sai số khoảng chừng 3 × 10−6. Tính quy tụ nhanh gọn lẹ Lúc z sát vì như thế 1 hoàn toàn có thể được tận dụng tối đa Theo phong cách sau: cho 1 xấp xỉ y ≈ ln(z) với chừng đúng mực thấp và đặt

logarit của z là:

Nếu độ quý hiếm y càng sấp xỉ thì độ quý hiếm A càng sát 1, vì thế hoàn toàn có thể tính logarit của chính nó một cơ hội hiệu suất cao. A hoàn toàn có thể được xem qua loa chuỗi lũy quá, vốn liếng quy tụ thời gian nhanh Lúc y không thực sự rộng lớn. Phép tính logarit của một vài z rộng lớn hoàn toàn có thể được đem về phép tắc tính những số nhỏ rộng lớn bằng phương pháp ghi chép z = a · 10b, Lúc bại ln(z) = ln(a) + b · ln(10).

Một cách thức không giống tương quan hoàn toàn có thể được vận dụng nhằm tính logarit bất ngờ của một vài nguyên vẹn dương ngẫu nhiên. Khi thay cho nhập chuỗi bên trên, tớ có

Nếu tiếp tục biết logarit bất ngờ của một vài nguyên vẹn n rộng lớn thì chuỗi này quy tụ vô cùng thời gian nhanh với vận tốc là .

Trung bình hình học–đại số[sửa | sửa mã nguồn]

Phương pháp dùng khoảng hình học–đại số được chấp nhận tính sấp xỉ logarit bất ngờ với chừng đúng mực vô cùng cao. Theo Sasaki & Kanda (1982), cách thức này quan trọng thời gian nhanh với chừng đúng mực khoảng chừng 400 cho tới 1000 chữ số thập phân, trong những khi cách thức sử dụng chuỗi Taylor thông thường nhanh gọn lẹ rộng lớn nếu như không yên cầu chừng đúng mực cao. Trong bài bác báo được trích dẫn, ln(x) được ước tính với sai số 2−p theo đuổi công thức sau (bởi Carl Friedrich Gauss):[65][66]

Ở phía trên M(x,y) chỉ khoảng hình học–đại số của x và y, đạt được bằng phương pháp triển khai lặp chuồn tái diễn những phép tắc tính (trung bình cộng) và (trung bình nhân) rồi lấy nhị thành quả thu được sản xuất độ quý hiếm mới mẻ của x và y. Hai số này nhanh gọn lẹ quy tụ lại về một số lượng giới hạn, và số lượng giới hạn này đó là độ quý hiếm của M(x,y). Giá trị m được lựa chọn sao cho

để đáp ứng chừng đúng mực quan trọng. Nếu m càng rộng lớn thì phép tắc tính M(x,y) cần thiết nhiều bước rộng lớn tuy nhiên chừng đúng mực càng tốt. Các hằng số π và ln(2) hoàn toàn có thể tính thời gian nhanh qua loa những chuỗi quy tụ.

Thuật toán của Feynman[sửa | sửa mã nguồn]

Theo Danny Hillis, một trong mỗi tập sự của Richard Feynman, lúc còn ở Phòng thử nghiệm Quốc gia Los Alamos triển khai Dự án Manhattan, Feynman tiếp tục trở nên tân tiến một thuật toán tương tự với phép tắc phân chia số rộng lớn. Thuật toán này về sau được dùng bên trên những PC tuy nhiên song (Connection Machine). Thuật toán dựa vào hạ tầng rằng từng số thực hoàn toàn có thể được màn biểu diễn kết quả của những quá số không giống nhau dạng với là số nguyên vẹn. Thuật toán tuần tự động lập tích đó: nếu như thì thuật toán thay cho vì như thế , và đội giá trị thêm một đơn vị chức năng bất kể đích hoặc sai. Thuật toán tạm dừng nếu như đầy đủ rộng lớn nhằm đạt được chừng đúng mực quan trọng. Vì là tổng của những số hạng dạng ứng với độ quý hiếm sao mang lại quá số nằm trong tích nên hoàn toàn có thể được xem vì như thế phép tắc nằm trong đơn giản và giản dị dùng bảng với từng độ quý hiếm của ở ngẫu nhiên cơ số này.[67][68]

Ứng dụng[sửa | sửa mã nguồn]

Một con cái ốc anh vũ thể hiện tại đàng cong xoắn ốc logarit

Logarit có khá nhiều phần mềm cả nhập lộn ngoài toán học tập. Một vài ba nhập số bại với tương quan cho tới định nghĩa về tỉ lệ thành phần không bao giờ thay đổi. Chẳng hạn, từng chống nhập vỏ ốc anh vũ đều tương tự với chống ngay tắp lự sau, thu nhỏ lại vì như thế một hằng số tỉ lệ thành phần. Đó là một trong ví dụ về xoắn ốc logarit.[69] Luật Benford về gia tốc xuất hiện tại chữ số thứ nhất cũng hoàn toàn có thể được phân tích và lý giải qua loa tỉ lệ thành phần không bao giờ thay đổi.[70] Logarit cũng đều có tương tác với đặc điểm tự động đồng dạng. Chẳng hạn, logarit xuất hiện tại trong công việc phân tích những thuật toán giải vấn đề bằng phương pháp tạo thành nhiều vấn đề con cái tương tự động rồi gộp những thành quả của bọn chúng lại cùng nhau.[71] Số chiều của những hình không khí tự động đồng dạng, tức là những hình tuy nhiên từng phần của chính nó đều tương tự như hình tổng thể, cũng dựa vào logarit. Thang đo logarit vô cùng quan trọng nhằm ấn định lượng cường độ thay cho thay đổi tỉ đối của một đại lượng đối với cường độ thay cho thay đổi vô cùng của chính nó. Hơn nữa, vì như thế hàm số logarit log(x) tăng vô cùng chậm rãi Lúc x càng ngày càng rộng lớn nên thang đo logarit được dùng nhằm "nén" lại tài liệu khoa học tập quy tế bào rộng lớn. Logarit cũng xuất hiện tại trong vô số nhiều phương trình khoa học tập như phương trình thương hiệu lửa Tsiolkovsky, phương trình Fenske hoặc phương trình Fernst.

Thang đo logarit[sửa | sửa mã nguồn]

Một biểu đồ gia dụng logarit thể hiện tại độ quý hiếm của một goldmark tính vì như thế papiermark nhập cuộc siêu lạm phát kinh tế bên trên Đức nhập trong thời gian 1920

Các đại lượng khoa học tập thông thường được màn biểu diễn theo đuổi logarit của những đại lượng không giống qua loa thang đo logarit. Chẳng hạn, decibel là đơn vị chức năng đo dựa vào những đại lượng tương quan cho tới logarit. Nó được dựa vào logarit thập phân của tỉ lệ thành phần – 10 lượt logarit thập phân của một tỉ lệ thành phần năng suất hoặc đôi mươi lượt logarit thập phân của tỉ lệ thành phần hiệu năng lượng điện thế, và được dùng để làm ấn định lượng sự hao tổn nấc năng lượng điện áp nhập truyền đạt tín hiệu năng lượng điện,[72] nhằm mô tả sự cân đối của âm nhập âm học tập,[73] và kĩ năng hít vào sự phản xạ độ sáng nhập quang quẻ học tập. Tỉ số tín hiệu bên trên nhiễu tế bào mô tả lượng âm ko quan trọng đối với tín hiệu cũng rất được đo vì như thế decibel.[74] Tương tự động, tỉ số tín hiệu cực to bên trên nhiễu thông thường được dùng nhằm nhận xét quality tiếng động và cách thức nén hình họa trải qua logarit.[75]

Độ rộng lớn của một trận động khu đất được đo theo đuổi logarit thập phân của tích điện tự nó sinh đi ra qua loa thang sự cân đối tế bào men hoặc thang chừng Richter. Chẳng hạn, một trận động khu đất 5,0 chừng giải hòa tích điện cấp 32 lượt (101.5) và một trận động khu đất 6,0 chừng giải hòa tích điện cấp 1000 lượt (103) đối với một trận động khu đất 4,0 chừng.[76] Cấp sao biểu con kiến là một trong thang đo logarit thông thườn không giống, dùng để làm đo chừng sáng sủa của những ngôi sao sáng qua loa logarit.[77] Một ví dụ không giống nữa là pH nhập hóa học; pH là số đối của logarit thập phân của hoạt chừng của những ion hydroni H3O+ nhập hỗn hợp.[78] Hoạt chừng của những ion hydroni nội địa đựng là 10−7 mol·L−1, nên pH của nước đựng là 7. Giấm thông thường với pH là khoảng chừng 3. Hiệu số vì như thế 4 tương tự với tỉ lệ thành phần hoạt chừng của H3O+ nhập một hóa học to hơn hóa học sót lại 104 lượt, tức là hoạt chừng của những ion hydroni nhập giấm là khoảng chừng 10−3 mol·L−1.

Đồ thị cung cấp logarit (logarit-tuyến tính) phần mềm logarit Theo phong cách trực quan: một trục (thường là trục tung) được phân chia tỉ lệ thành phần theo đuổi logarit. Chẳng hạn, đồ gia dụng thị ở ở bên phải thu nhỏ nấc tăng từ là một triệu lên 1 ngàn tỷ xuống nằm trong chừng lâu năm (trên trục tung) đối với nấc tăng từ là một lên 1 triệu. Tại những đồ gia dụng thị như thế, những hàm nón dạng f(x) = a · bx là đường thẳng liền mạch với thông số góc vì như thế với logarit của b. Đồ thị logarit phân chia tỉ lệ thành phần cả nhị trục theo đuổi logarit, nên hàm nón dạng f(x) = a · xk là đường thẳng liền mạch với thông số góc vì như thế với số nón k. Nó được phần mềm trong công việc phân tích những quy tắc lũy quá.[79]

Tâm lý học[sửa | sửa mã nguồn]

Logarit xuất hiện tại trong số luật tương quan cho tới tri giác trái đất.[80][81] Định luật Hick nhấn mạnh vấn đề ông tơ tương tác logarit thân thuộc thời hạn tuy nhiên một người chi ra nhằm chọn 1 phương án và số lựa lựa chọn tuy nhiên người bại với.[82] Định luật Fitts Dự kiến rằng thời hạn cần thiết nhằm dịch chuyển thời gian nhanh cho tới một vùng tiềm năng là một trong hàm logarit của quãng đàng cho tới vùng bại và độ dài rộng của tiềm năng.[83] Trong tâm cơ vật lý học tập, ấn định luật Weber–Fechner nhắc tới ông tơ tương tác logarit thân thuộc kích ứng và giác quan tiền, ví dụ như lượng thực tiễn đối với lượng cảm hứng của một vật tuy nhiên một người đang được núm.[84] (Tuy nhiên "định luật" này thiếu hụt thực tiễn đối với những quy mô mới mẻ rộng lớn, ví dụ như ấn định luật lũy quá của Stevens.[85])

Các phân tích về tư tưởng học tập đã cho thấy những người dân không nhiều được dạy dỗ về toán học tập thông thường ước tính những đại lượng theo đuổi logarit, tức là bọn họ bịa một vài bên trên một đường thẳng liền mạch ko được ghi lại dựa vào logarit của chính nó sao mang lại 10 sát với 100 như Lúc 100 sát với 1000. Khi được huấn luyện và giảng dạy kỹ lưỡng rộng lớn, bọn họ với Xu thế gửi thanh lịch ước tính tuyến tính (đặt 1000 xa xăm rộng lớn 10 lần) nhập một vài tình huống, trong những khi logarit được sử dụng thay cho thế Lúc những số cần thiết bịa quá to.[86][87]

Lý thuyết phần trăm và thống kê[sửa | sửa mã nguồn]

Ba hàm tỷ lệ phần trăm (PDF) của trở nên tình cờ và phân phối loga chuẩn chỉnh của bọn chúng. Tham số địa điểm μ, vốn liếng vì như thế 0 với tất cả thân phụ hàm bên trên, là khoảng của logarit trở nên tình cờ, ko cần là khoảng của trở nên bại.
Biểu đồ gia dụng thể hiện tại gia tốc xuất hiện tại của chữ số thứ nhất nhập tài liệu dân sinh của 237 vương quốc bên trên trái đất. Các chấm thâm chỉ phân bổ tự luật Benford Dự kiến.

Logarit được phần mềm nhập lý thuyết xác suất: luật số rộng lớn nhận định rằng, với 1 đồng xu tiền nhị mặt mũi, Lúc số lượt tung tiến bộ cho tới vô hạn, tỉ lệ thành phần xuất hiện tại mặt mũi ngửa tiệm cận về 50%. Sự dịch chuyển của tỉ lệ thành phần này được phân tích và lý giải qua loa luật về logarit lặp.[88]

Logarit cũng xuất hiện tại nhập phân phối loga chuẩn chỉnh. Khi logarit của một trở nên tình cờ với 1 phân phối chuẩn chỉnh, trở nên này được gọi là với 1 phân phối loga chuẩn chỉnh.[89] Phân phối loga chuẩn chỉnh thông thường bắt gặp trong vô số nhiều nghành nghề dịch vụ Lúc một trở nên là tích của đa số trở nên dương song lập tình cờ, ví dụ như nhập phân tích sự nhiễu loàn.[90]

Logarit được sử dụng nhập phép tắc hợp lí cực to của những quy mô đo đếm thông số. Với một quy mô như thế, hàm kĩ năng tùy theo tối thiểu một thông số rất cần phải lấy sấp xỉ. Giá trị lớn số 1 của hàm kĩ năng xẩy ra bên trên nằm trong độ quý hiếm thông số với độ quý hiếm lớn số 1 của logarit của kĩ năng bại ("hợp lý logarit"), vì như thế logarit là hàm số tăng. Giá trị lớn số 1 của hợp lí logarit là dễ dàng dò xét rộng lớn quan trọng với những kĩ năng được nhân mang lại trở nên song lập tình cờ.[91]

Luật Benford tế bào mô tả sự xuất hiện tại của những chữ số trong vô số nhiều cỗ tài liệu, ví dụ như độ cao của những tòa mái ấm. Theo luật này thì phần trăm nhằm chữ số thứ nhất của một tài liệu nhập cỗ tài liệu này đó là d (từ 1 cho tới 9) vì như thế log10(d + 1) − log10(d) bất kể đơn vị chức năng đo.[92] Vì vậy, khoảng chừng 30% tài liệu hoàn toàn có thể chính thức bằng văn bản số 1, khoảng chừng 18% chính thức bằng văn bản số 2... Các truy thuế kiểm toán viên thông thường so sánh tài liệu với luật Benford nhằm trừng trị hiện tại những hành động thủ thuật nhập kế toán tài chính.[93]

Độ phức tạp tính toán[sửa | sửa mã nguồn]

Phân tích thuật toán là một trong nhánh của khoa học tập PC phân tích về sinh hoạt của thuật toán (chương trình PC dùng để làm xử lý một yếu tố nhất định).[94] Logarit với tầm quan trọng trong công việc tế bào mô tả những thuật toán phân chia nhỏ một yếu tố trở thành nhiều yếu tố con cái rồi hợp ý những thành quả lại cùng nhau.[95]

Chẳng hạn, nhằm dò xét một vài nhập một mảng tiếp tục bố trí, thuật toán dò xét kiếm nhị phân tiếp tục đánh giá thành phần đứng thân thuộc mảng và tiếp cho tới đánh giá nửa khoảng chừng ở trước hoặc ở sau thành phần đứng thân thuộc nếu như không nhìn thấy số bại. Thuật toán này cần thiết khoảng log2(N) bước đối chiếu với N là số thành phần của mảng.[96] Tương tự động, thuật toán bố trí trộn bố trí một mảng bằng phương pháp phân chia song trở thành nhị mảng con cái và bố trí bọn chúng trước lúc gộp lại những thành quả. Thuật toán bố trí trộn thông thường tốn một khoảng chừng thời hạn xấp xỉ tỉ lệ thành phần thuận với N · log(N).[97] Cơ số của logarit ko được nhắc tới rõ ràng, vì như thế thành quả chỉ thay cho thay đổi theo đuổi một hằng số chắc chắn khi sử dụng cơ số không giống. Người tớ ko quan hoài cho tới hằng số bại Lúc phân tách thuật toán bên dưới quy mô ngân sách thống nhất xài chuẩn chỉnh.[98]

Một hàm số f(x) được gọi là hàm số tăng logarit nếu như f(x) tỉ lệ thành phần thuận với logarit của x. (Tuy nhiên, một vài tư liệu sinh học tập dùng thuật ngữ này so với hàm nón Lúc ghi chép về việc phát triển của loại vật.[99]) Chẳng hạn, từng số bất ngờ N đều hoàn toàn có thể được màn biểu diễn bên dưới dạng nhị phân dùng không thực sự log2(N) + 1 bit. Nói cách tiếp theo, lượng bộ lưu trữ cần thiết dùng để làm tàng trữ N tăng theo đuổi logarit của N.

Entropy và sự lếu loạn[sửa | sửa mã nguồn]

Một quy mô bàn bida. Hai phân tử điểm chính thức hoạt động từ vựng trí trung tâm với nhị góc sai không giống nhau 1 chừng, tiếp sau đó tách đi ra dịch chuyển lếu loàn tự sự bản năng bên trên trở thành bàn.

Entropy là một trong phép tắc đo về việc lếu loàn của một hệ. Trong cơ học tập đo đếm, entropy S của một hệ cơ vật lý được xác lập là

Tổng này được lấy bên trên toàn bộ những tình trạng i của hệ được xét, ví dụ như địa điểm của những phân tử khí vào phía trong bình chứa chấp, nhập bại pi là phần trăm nhằm hệ nằm ở vị trí tình trạng i và k là hằng số Boltzmann. Tương tự động, entropy vấn đề tế bào mô tả cường độ lếu loàn của vấn đề. Nếu người nhận một thông điệp kỳ vọng cảm nhận được ngẫu nhiên nhập số N thông điệp hoàn toàn có thể với kĩ năng tương tự nhau thì lượng vấn đề truyền đạt vì như thế một thông điệp như thế được ấn định lượng là log2(N) bit.[100]

Lũy quá Lyapunov dùng logarit nhằm đo cường độ lếu loàn của một khối hệ thống động lực. Chẳng hạn, Lúc một hóa học điểm dịch chuyển bên trên 1 bàn bida, duy nhất thay cho thay đổi vô cùng nhỏ về góc cũng hoàn toàn có thể thực hiện thay cho thay đổi trọn vẹn phía chuồn của hóa học điểm bại. Hệ thống như thế lếu loàn một cơ hội vớ ấn định, vì như thế những sơ sót nhỏ ở ĐK lúc đầu thông thường kéo đến những thành quả khác hoàn toàn nhau.[101] Ít nhất một lũy quá Lyapunov của một hệ lếu loàn vớ ấn định có mức giá trị dương.

Phân dạng[sửa | sửa mã nguồn]

Tam giác Sierpinski (bên phải) được tạo ra bằng phương pháp lặp chuồn tái diễn việc thay cho thế một tam giác đều vì như thế thân phụ tam giác đều nhỏ rộng lớn.

Logarit xuất hiện tại nhập khái niệm về số chiều phân dạng.[102] Phân dạng là một trong đối tượng người sử dụng hình học tập với cấu tạo tự động đồng dạng: từng hình nhỏ rộng lớn đều coi tương tự như hình tổng thể. Tam giác Sierpinski (hình bên) được đưa đến kể từ thân phụ bạn dạng sao của nó, từng hình với cạnh vì như thế 50% hình lúc đầu. Theo bại, số chiều Hausdorff của cấu tạo này là ln(3)/ln(2) ≈ 1,58. Một định nghĩa không giống về số chiều dựa vào logarit được suy đi ra vì như thế việc điểm số hình vuông vắn đơn vị chức năng nhằm chứa đựng không còn mặt phẳng phân dạng được xét.

Âm nhạc[sửa | sửa mã nguồn]

Four different octaves shown on a linear scale.

Four different octaves shown on a logarithmic scale.

Bốn quãng tám không giống nhau bên trên thang đo tuyến tính và thang đo logarit.

Logarit với tương tác cho tới cung và quãng nhập âm thanh. Trong khối hệ thống âm bất ngờ, tỉ lệ thành phần tần số chỉ tùy theo quãng thân thuộc nhị tông nhạc, ko tùy theo tần số hoặc cao chừng của từng tông rõ ràng. Chẳng hạn, nốt A với tần số là 440 Hz và nốt B♭ với tần số là 466 Hz. Quãng thân thuộc nốt A và nốt B♭ là nửa cung, tương tự như quãng thân thuộc nốt B♭ và nốt B (tần số 493 Hz), vì như thế tỉ lệ thành phần tần số của nhị quãng bên trên sát vì như thế nhau:

Do bại, logarit hoàn toàn có thể được dùng để làm mô tả những quãng: một quãng được đo theo đuổi đơn vị chức năng nửa cung bằng phương pháp lấy logarit cơ số 21/12 của tỉ lệ thành phần tần số, trong những khi logarit cơ số 21/1200 của chính nó đo quãng bại theo đuổi cent, vì như thế một Phần Trăm đối với nửa cung.[103]

Quãng
(phát nhị tông nằm trong lúc) 		Tông 1/12 phátⓘ Nửa cung phátⓘ Quãng 5/4 phátⓘ Quãng 3 trưởng phátⓘ Quãng 3 cung phátⓘ Quãng tám phátⓘ
Tỉ lệ tần số r
Số nửa cung tương ứng
Số cent tương ứng

Lý thuyết số[sửa | sửa mã nguồn]

Logarit bất ngờ với tương tác thân mật và gần gũi với việc điểm số thành phần (2, 3, 5, 7, 11...), một chủ thể cần thiết nhập lý thuyết số. Với từng số nguyên vẹn x, con số số thành phần nhỏ rộng lớn hoặc vì như thế x được ký hiệu là π(x). Theo ấn định lý số thành phần, độ quý hiếm sấp xỉ của π(x) được mang lại vì như thế công thức

trong bại "gần đúng" ở phía trên tức là tỉ số thân thuộc π(x) và x/ln(x) tiệm cận về 1 Lúc x tiến bộ dần dần đi ra vô hạn.[104] Nói cách tiếp theo, phần trăm nhằm một vài được lựa chọn tình cờ nằm trong lòng 1 và x là số thành phần tỉ lệ thành phần nghịch tặc với số chữ số của x. Một xấp xỉ đúng mực không chỉ có vậy của π(x) được mang lại vì như thế hàm tích phân logarit bù Li(x), được khái niệm là

Giả thuyết Riemann, một trong mỗi phỏng đoán toán học tập hé nhiều năm nhất, hoàn toàn có thể được tuyên bố bên trên hạ tầng đối chiếu π(x) và Li(x).[105] Định lý Erdős–Kac tế bào mô tả số những quá số thành phần không giống nhau cũng tương quan cho tới logarit bất ngờ.

Logarit của n giai quá, n! = 1 · 2 ·... · n, được mang lại bởi

Biểu thức này được dùng để làm suy đi ra phép tắc xấp xỉ Stirling, một phép tắc tính sấp xỉ n! với n rộng lớn.[106]

Khái quát tháo hóa[sửa | sửa mã nguồn]

Logarit phức[sửa | sửa mã nguồn]

An illustration of the polar form: a point is described by an arrow or equivalently by its length and angle to tướng the x axis.
Một điểm z = x + iy nhập mặt mũi bằng phẳng phức. Cả nhị góc φ và φ' đều là argumen của z.

Mọi nghiệm phức a của phương trình

được gọi là logarit phức của z, với z là một vài phức. Mỗi số phức thông thường với dạng z = x + iy với x và y là số thực và i là đơn vị chức năng ảo (căn bậc nhị của −1). Một số như thế hoàn toàn có thể được màn biểu diễn vì như thế một điểm nhập mặt mũi bằng phẳng phức như hình ở bên phải. Mặt bằng phẳng phức thông thường biểu thị một vài phức z không giống không tuân theo độ quý hiếm vô cùng của chính nó, tức là khoảng cách r tới điểm gốc, và một góc hợp ý vì như thế trục hoành thực Re và đường thẳng liền mạch trải qua gốc tọa chừng và z. Góc này được gọi là argumen của z.

Giá trị vô cùng r của z được xem vì như thế

Áp dụng màn biểu diễn hình học tập của và và tính tuần trả của bọn chúng với chu kỳ luân hồi , từng số phức z cũng hoàn toàn có thể được màn biểu diễn bên dưới dạng

với k là số nguyên vẹn. Rõ ràng argumen của z ko cần là duy nhất: cả φ và φ' = φ + 2kπ đều là argumen của z với từng số nguyên vẹn k, vì như thế tăng 2kπ radian hoặc k⋅360° nhập φ tức là "quay" góc φ xung quanh gốc tọa chừng k vòng.[nb 7] Số phức ở đầu cuối luôn luôn là z, như được minh họa nhập hình ở bên phải với k = 1. Ta hoàn toàn có thể lựa chọn đích 1 trong số những argumen của z thực hiện argumen chính, ký hiệu là Arg(z) với vần âm A in hoa, bằng phương pháp số lượng giới hạn φ xuống một vòng xoay chắc chắn, ví dụ như [107] hoặc [108] Các nửa khoảng chừng này được gọi là nhánh chính của hàm argumen.

Miền tô màu sắc của logarit phức Log(z). Điểm black color bên trên z = 1 ứng với độ quý hiếm vô cùng vì như thế ko. Màu sáng sủa rộng lớn, sẫm rộng lớn biểu thị độ quý hiếm vô cùng to hơn. Sắc chừng của màu sắc chỉ argumen của Log(z).

Công thức Euler tương tác những dung lượng giác sin và cosin với hàm nón phức:

Áp dụng công thức bên trên và đặc điểm tuần trả, tớ có:[109]

với ln(r) là logarit bất ngờ thực độc nhất, ak là logarit phức của z và k là một vài nguyên vẹn ngẫu nhiên. Do bại, logarit phức của z, bao hàm toàn bộ những số phức ak sao mang lại lũy quá bậc ak của e vì như thế z, là một trong giao hội vô số những độ quý hiếm ak thỏa mãn

với k là một vài nguyên vẹn.

Đặt k sao mang lại ở trong số nửa khoảng chừng được xác lập như bên trên thì ak được gọi là giá trị chính của logarit phức, ký hiệu là Log(z) với vần âm L in hoa. Argumen chủ yếu của từng số thực dương x vì như thế 0; vì thế Log(x) là một vài thực vì như thế với logarit bất ngờ thực. Dù thế, những công thức về logarit của một tích hoặc lũy quá không vận dụng được mang lại độ quý hiếm chủ yếu của logarit phức.[110]

Hình ở bên phải mô tả miền tô màu sắc của Log(z), nhập bại z được số lượng giới hạn về nửa khoảng chừng (-π, π]. cũng có thể thấy nhánh ứng của logarit phức bị đứt đoạn bên trên toàn cỗ phần âm của trục hoành thực, bên trên bại sắc chừng thay cho thay đổi thiên nhiên. Sự đứt đoạn này phát sinh từ các việc gửi thanh lịch phân vùng không giống nhập và một nhánh Lúc trải qua một đường giáp ranh biên giới (không chuyển sang độ quý hiếm k ứng của nhánh lân cận). Một quỹ tích như thế được gọi là nhánh hạn chế. Hiện tượng này chỉ hoàn toàn có thể bị đánh tan bằng phương pháp vô hiệu hóa ĐK của argumen, và Lúc bại argumen của z và logarit của chính nó đều trở nên hàm nhiều trị.

Hàm ngược của những hàm nón khác[sửa | sửa mã nguồn]

Lũy quá xuất hiện tại trong vô số nhiều nghành nghề dịch vụ của toán học tập và hàm ngược của chính nó thông thường được gọi là logarit. Chẳng hạn, logarit của một ma mãnh trận là hàm ngược (đa trị) của hàm nón ma mãnh trận.[111] Một ví dụ không giống là hàm logarit p-adic, hàm ngược của hàm nón p-adic. Cả nhị đều được xác lập qua loa chuỗi Taylor tương tự động như với số thực. Khác với số thực, logarit p-adic còn hoàn toàn có thể được không ngừng mở rộng mang lại từng số p-adic không giống 0.[112] Trong hình học tập vi phân, ánh xạ nón ánh xạ không khí tiếp tuyến bên trên một điểm của một nhiều tạp cho tới một phụ cận của điểm bại, và ánh xạ ngược lại với nó được gọi là ánh xạ logarit.[113]

Trong group hữu hạn, lũy quá là nhân lặp chuồn tái diễn một thành phần b nhập group với chủ yếu nó. Logarit tách rộc rạc là nghiệm nguyên vẹn n của phương trình

với x là một trong thành phần nhập group. Phép lũy quá tách rộc rạc hoàn toàn có thể đơn giản và dễ dàng triển khai được, tuy nhiên logarit tách rộc rạc được mang lại là tương đối khó tính được nhập một vài group. Tính bất đối xứng này còn có những phần mềm cần thiết nhập mật mã hóa khóa công khai minh bạch, ví dụ như nhập trao thay đổi khóa Diffie–Hellman, một cách thức được chấp nhận trao thay đổi khóa mật mã một cơ hội bảo mật thông tin bên trên những kênh vấn đề ko an toàn và đáng tin cậy.[114] Logarit Zech với tương tác với logarit tách rộc rạc so với group nhân của những thành phần không giống ko nhập một ngôi trường hữu hạn.[115]

Các hàm ngược không giống tương quan cho tới logarit bao gòm logarit kép ln(ln(x)), siêu logarit (có dạng tương tự với logarit lặp nhập khoa học tập máy tính), hàm Lambert W và logit. Chúng theo thứ tự là hàm ngược của hàm nón kép, tetration, f(w) = wew,[116] và hàm logistic.[117]

Xem thêm: Mua Bán Xe Honda Air Blade 2020 Màu Đen Cũ Mới Giá Rẻ

Các định nghĩa liên quan[sửa | sửa mã nguồn]

Trong lý thuyết group, tương đồng thức log(cd) = log(c) + log(d) biểu thị một đẳng cấu group Một trong những số thực bên dưới phép tắc nhân và những số thực bên dưới phép tắc nằm trong. Hàm logarit là đẳng cấu liên tiếp độc nhất Một trong những group này.[118] phẳng đẳng cấu bại, chừng đo Haar (độ đo Lebesgue) dx bên trên những số thực ứng với chừng đo Haar dx/x bên trên những số thực dương.[119] Các số thực ko âm bên dưới phép tắc nằm trong và phép tắc tự tạo trở thành một cung cấp vòng được gọi là cung cấp vòng xác suất; tiếp sau đó, logarit gửi phép tắc nhân trở thành phép tắc nằm trong (phép nhân log) và gửi phép tắc nằm trong trở thành phép tắc nằm trong log (LogSumExp), cho 1 phép tắc đẳng cấu thân thuộc cung cấp vòng phần trăm và cung cấp vòng log.[120] Trong giải tích phức và hình học tập đại số, 1-dạng logarit df/f là một trong dạng vi phân với đỉnh điểm logarit.[121]

Hàm nhiều loga là hàm số xác lập bởi

Nó với tương tác với logarit bất ngờ theo đuổi tương đồng thức Li1(z) = −ln(1 − z). Hơn nữa, Lis(1) vì như thế với hàm zeta Riemann ζ(s).[122]

Xem thêm[sửa | sửa mã nguồn]

  • Căn bậc n
  • Lũy thừa
  • Giới hạn
  • Tích phân

Ghi chú[sửa | sửa mã nguồn]

Tham khảo[sửa | sửa mã nguồn]

  1. ^ Shirali, Shailesh (2002), A Primer on Logarithms, Hyderabad: Universities Press, ISBN 978-81-7371-414-6, quan trọng mục 2
  2. ^ Kate, S.K.; Bhapkar, H.R. (2009), Basics Of Mathematics, Pune: Technical Publications, ISBN 978-81-8431-755-8, chương 1
  3. ^ Mọi vấn đề hoàn toàn có thể được nhìn thấy nhập Shirali 2002, mục 7, Downing 2003, tr. 275 hoặc Kate & Bhapkar 2009, tr. 1-1...
  4. ^ Bernstein, Stephen; Bernstein, Ruth (1999), Schaum's outline of theory and problems of elements of statistics. I, Descriptive statistics and probability, Schaum's outline series, New York: McGraw-Hill, ISBN 978-0-07-005023-5, tr. 21
  5. ^ Downing, Douglas (2003), Algebra the Easy Way, Barron's Educational Series, Hauppauge, NY: Barron's, ISBN 978-0-7641-1972-9, chương 17, tr. 275
  6. ^ Wegener, Ingo (2005), Complexity theory: exploring the limits of efficient algorithms, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-21045-0, tr. 20
  7. ^ Van der Lubbe, Jan C. A. (1997), Information Theory, Cambridge University Press, tr. 3, ISBN 978-0-521-46760-5
  8. ^ Allen, Elizabeth; Triantaphillidou, Sophie (2011), The Manual of Photography, Taylor & Francis, tr. 228, ISBN 978-0-240-52037-7
  9. ^ “Quantities and units – Part 2: Mathematical signs and symbols to tướng be used in the natural sciences and technology” (PDF), International Standard ISO 80000-2 (ấn bạn dạng 1), ngày một mon 12 năm 2009, Section 12, Exponential and logarithmic functions, tr. 18, Bản gốc (PDF) tàng trữ ngày 28 mon hai năm 2019, truy vấn ngày 7 mon 10 năm 2020.
  10. ^ Gullberg, Jan (1997), Mathematics: from the birth of numbers., New York: W. W. Norton & Co, ISBN 978-0-393-04002-9
  11. ^ Bauer, Friedrich L. (2009), Origins and Foundations of Computing: In Cooperation with Heinz Nixdorf MuseumsForum, Springer Science+Business Media, tr. 54, ISBN 978-3-642-02991-2
  12. ^ Fiche, Georges; Hebuterne, Gerard (2013), Mathematics for Engineers, John Wiley & Sons, tr. 152, ISBN 978-1-118-62333-6, In the following, and unless otherwise stated, the notation log x always stands for the logarithm to tướng the base 2 of x.
  13. ^ Xem chú quí một trong các Perl, Yehoshua; Reingold, Edward M. (tháng 12 năm 1977), “Understanding the complexity of interpolation search”, Information Processing Letters, 6 (6): 219–22, doi:10.1016/0020-0190(77)90072-2
  14. ^ Halmos, Paul (1985), I Want to tướng Be a Mathematician: An Automathography, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-96078-4
  15. ^ Stringham, Irving (1893), Uniplanar algebra: being part I of a propædeutic to tướng the higher mathematical analysis, The Berkeley Press, tr. xiii
  16. ^ Freedman, Roy S. (2006), Introduction to tướng Financial Technology, Amsterdam: Academic Press, tr. 59, ISBN 978-0-12-370478-8
  17. ^ Xem Định lý 3.29 nhập Rudin, Walter (1984), Principles of mathematical analysis , Auckland: McGraw-Hill International, ISBN 978-0-07-085613-4
  18. ^ Parkhurst, David F. (2007), Introduction to tướng Applied Mathematics for Environmental Science, Springer Science+Business Media, tr. 288, ISBN 978-0-387-34228-3
  19. ^ Boyer, Carl B.; Merzbach, Uta C. (1991), A History of Mathematics (ấn bạn dạng 2), Wiley, tr. 125, ISBN 0-471-09763-2
  20. ^ Joseph, G. G. (2011), The Crest of the Peacock: Non-European Roots of Mathematics (ấn bạn dạng 3), Princeton University Press, tr. 352, ISBN 978-0-691-13526-7.
  21. ^ Gupta, R. C. (2000), “History of Mathematics in India”, nhập Hoiberg, Dale; Ramchandani, Indu (biên tập), Students' Britannica India: Select essays, Popular Prakashan, tr. 329, ISBN 0-85229-762-9
  22. ^ Stifel, Michael (1544), Arithmetica integra (bằng giờ La-tinh), London: Iohan Petreium, tr. 31.
  23. ^ Groza, Vivian Shaw; Shelley, Susanne M. (1972), Precalculus mathematics, New York: Holt, Rinehart and Winston, tr. 182, ISBN 978-0-03-077670-0.
  24. ^ Pierce, R. C., Jr. (tháng một năm 1977), “A Brief History of Logarithms”, The Two-Year College Mathematics Journal, Mathematical Association of America, 8 (1): 22–26, doi:10.2307/3026878, JSTOR 3026878Quản lý CS1: nhiều tên: list người sáng tác (liên kết)
  25. ^ Boyer & Merzbach 1991, tr. 307–310
  26. ^ Napier, John (1614), Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio (bằng giờ La-tinh), Edinburgh, Scotland: Andrew Hart
  27. ^ Hobson, Ernest William (1914), John Napier and the invention of logarithms, 1614, Cambridge: The University Press
  28. ^ Edwards, Jr., C. H. (1979), The Historical Development of the Calculus, New York: Springer-Verlag, tr. 148, doi:10.1007/978-1-4612-6230-5, ISBN 978-0-387-94313-8
  29. ^ Maor, Eli (2009), E: The Story of a Number, Princeton University Press, tr. 11, 14, ISBN 978-0-691-14134-3
  30. ^ Boyer & Merzbach 1991, tr. 314–315
  31. ^ González-Velasco, Enrique (2011), Journey through Mathematics: Creative Episodes in Its History, New York: Springer, tr. 118–20, ISBN 978-0-387-92153-2
  32. ^ Boyer & Merzbach 1991, tr. 387
  33. ^ Maor 2009, tr. 156
  34. ^ Remmert, Reinhold (1991), Theory of Complex Functions, Springer-Verlag, tr. 136, ISBN 978-0-387-97195-7
  35. ^ Euler, Leonhard (1748), Introductio in analysin infinitorum, 1, Lausanne, Thụy Sĩ: Marc Michel Bousquet & Co., tr. 69–85. Bản dịch của Ian Bruce
  36. ^ Bryant, Walter W. (1907), A History of Astronomy, London: Methuen & Co, tr. 44
  37. ^ Campbell-Kelly, Martin (2003), The history of mathematical tables: from Sumer to tướng spreadsheets, Oxford scholarship online, Oxford University Press, ISBN 978-0-19-850841-0, chương 2
  38. ^ Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A. chỉnh sửa (1972), Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables (ấn bạn dạng 10), New York: Dover Publications, ISBN 978-0-486-61272-0, mục 4.7., tr. 89
  39. ^ Spiegel, Murray R.; Moyer, R.E. (2006), Schaum's outline of college algebra, Schaum's outline series, New York: McGraw-Hill, tr. 264, ISBN 978-0-07-145227-4
  40. ^ Maor 2009, tr. 16
  41. ^ Devlin, Keith (2004), Sets, functions, and logic: an introduction to tướng abstract mathematics, Chapman & Hall/CRC mathematics (ấn bạn dạng 3), Boca Raton, Fla: Chapman & Hall/CRC, ISBN 978-1-58488-449-1, hoặc coi tăng chú quí nhập bài bác hàm số
  42. ^ a b Lang, Serge (1997), Undergraduate analysis, Undergraduate Texts in Mathematics (ấn bạn dạng 2), Berlin, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/978-1-4757-2698-5, ISBN 978-0-387-94841-6, MR 1476913, chương III.3
  43. ^ a b Lang 1997, mục IV.2
  44. ^ Dieudonné, Jean (1969), Foundations of Modern Analysis, 1, Thành Phố New York, London: Academic Press, tr. 84
  45. ^ Stewart, James (2007), Single Variable Calculus: Early Transcendentals, Belmont: Thomson Brooks/Cole, ISBN 978-0-495-01169-9, mục 1.6
  46. ^ “Calculation of d/dx(Log(b,x))”. Wolfram Alpha. Wolfram Research. Truy cập ngày 18 mon 6 năm 2020.
  47. ^ Kline, Morris (1998), Calculus: an intuitive and physical approach, Dover books on mathematics, New York: Dover Publications, ISBN 978-0-486-40453-0, tr. 386
  48. ^ “Calculation of Integrate(ln(x))”. Wolfram Alpha. Wolfram Research. Truy cập ngày 18 mon 6 năm 2020.
  49. ^ Abramowitz & Stegun 1972, tr. 69
  50. ^ Courant, Richard (1988), Differential and integral calculus. Vol. I, Wiley Classics Library, New York: John Wiley & Sons, ISBN 978-0-471-60842-4, MR 1009558, chương III.6
  51. ^ Havil, Julian (2003), Gamma: Exploring Euler's Constant, Princeton University Press, ISBN 978-0-691-09983-5, mục 11.5 và 13.8
  52. ^ Chau, Kam Tim (2018), Theory of Differential Equations in Engineering and Mechanics, Boca Raton: CRC Press, tr. 36, ISBN 978-1-138-74813-2
  53. ^ Nomizu, Katsumi (1996), Selected papers on number theory and algebraic geometry, 172, Providence, RI: AMS Bookstore, tr. 21, ISBN 978-0-8218-0445-2
  54. ^ Baker, Alan (1975), Transcendental number theory, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-20461-3, tr. 10
  55. ^ Muller, Jean-Michel (2006), Elementary functions (ấn bạn dạng 2), Boston, MA: Birkhäuser Boston, ISBN 978-0-8176-4372-0, chương 4.2.2 (tr. 72) và 5.5.2 (tr. 95)
  56. ^ Hart; Cheney; Lawson; và người cùng cơ quan (1968), Computer Approximations, SIAM Series in Applied Mathematics, New York: John Wiley, ISBN 978-0471356301, mục 6.3, tr. 105–111
  57. ^ Zhang, M.; Delgado-Frias, J.G.; Vassiliadis, S. (1994), “Table driven Newton scheme for high precision logarithm generation”, IEE Proceedings - Computers and Digital Techniques, 141 (5): 281–92, doi:10.1049/ip-cdt:19941268, ISSN 1350-2387, mục 1
  58. ^ Meggitt, J.E. (tháng 4 năm 1962), “Pseudo Division and Pseudo Multiplication Processes” (PDF), IBM Journal of Research and Development, 6 (2): 210–26, doi:10.1147/rd.62.0210, Bản gốc (PDF) tàng trữ ngày 7 mon 10 năm 2020, truy vấn ngày 7 mon 10 năm 2020
  59. ^ Kahan, William Morton (20 mon 5 năm 2001). “Pseudo-Division Algorithms for Floating-Point Logarithms and Exponentials” (PDF). Berkeley, California: Đại học tập California. Bản gốc (PDF) tàng trữ ngày 25 mon 12 năm 2015. Truy cập ngày 18 mon 7 năm 2020.
  60. ^ a b c Abramowitz & Stegun 1972, tr. 68
  61. ^ Kline, Morris (1990) [1972], Mathematical Thought from Ancient to tướng Modern Times, 1, New York: Oxford University Press, tr. 354, ISBN 0-19-506135-7
  62. ^ Maor 2009, tr. 38, 74
  63. ^ Euler 1748, tr. 90
  64. ^ a b Anton, Howard; Bivens, Irl C.; Davis, Stephen (2016), Calculus: Early Transcendentals (ấn bạn dạng 11), John Wiley & Sons, tr. 587, ISBN 978-1-118-88382-2
  65. ^ Sasaki, T.; Kanada, Y. (1982), “Practically fast multiple-precision evaluation of log(x)”, Journal of Information Processing, 5 (4): 247–50, truy vấn ngày 18 mon 6 năm 2020
  66. ^ Ahrendt, Timm (1999), “Fast Computations of the Exponential Function”, Stacs 99, Lecture notes in computer science, 1564, Berlin, New York: Springer, tr. 302–12, doi:10.1007/3-540-49116-3_28, ISBN 978-3-540-65691-3
  67. ^ Hillis, Danny (ngày 15 mon một năm 1989), “Richard Feynman and The Connection Machine”, Physics Today, 42 (2): 78, Bibcode:1989PhT....42b..78H, doi:10.1063/1.881196
  68. ^ Hey, Anthony J. G. chỉnh sửa (2018) [1999], Feynman And Computation, CRC Press, tr. 260, ISBN 978-0-8133-4039-5
  69. ^ Maor 2009, tr. 135
  70. ^ Frey, Bruce (2006), Statistics hacks, Hacks Series, Sebastopol, CA: O'Reilly, ISBN 978-0-596-10164-0, chương 6, mục 64
  71. ^ Ricciardi, Luigi M. (1990), Lectures in applied mathematics and informatics, Manchester: Manchester University Press, ISBN 978-0-7190-2671-3, tr. 21, mục 1.3.2
  72. ^ Bakshi, U.A. (2009), Telecommunication Engineering, Pune: Technical Publications, ISBN 978-81-8431-725-1, mục 5.2
  73. ^ Maling, George C. (2007), “Noise”, nhập Rossing, Thomas D. (biên tập), Springer handbook of acoustics, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-30446-5, mục 23.0.2
  74. ^ Tashev, Ivan Jelev (2009), Sound Capture and Processing: Practical Approaches, New York: John Wiley & Sons, tr. 98, ISBN 978-0-470-31983-3
  75. ^ Chui, C.K. (1997), Wavelets: a mathematical tool for signal processing, SIAM monographs on mathematical modeling and computation, Philadelphia, ISBN 978-0-89871-384-8
  76. ^ Crauder, Bruce; Evans, Benny; Noell, Alan (2008), Functions and Change: A Modeling Approach to tướng College Algebra (ấn bạn dạng 4), Boston: Cengage Learning, ISBN 978-0-547-15669-9, mục 4.4.
  77. ^ Bradt, Hale (2004), Astronomy methods: a physical approach to tướng astronomical observations, Cambridge Planetary Science, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-53551-9, mục 8.3, tr. 231
  78. ^ IUPAC (1997), A. D. McNaught, A. Wilkinson (biên tập), Compendium of Chemical Terminology ("Gold Book") (ấn bạn dạng 2), Oxford: Blackwell Scientific Publications, doi:10.1351/goldbook, ISBN 978-0-9678550-9-7
  79. ^ Bird, J.O. (2001), Newnes engineering mathematics pocket book (ấn bạn dạng 3), Oxford: Newnes, ISBN 978-0-7506-4992-6, mục 34
  80. ^ Goldstein, E. Bruce (2009), Encyclopedia of Perception, Encyclopedia of Perception, Thousand Oaks, CA: Sage, ISBN 978-1-4129-4081-8, tr. 355–356
  81. ^ Matthews, Gerald (2000), Human performance: cognition, stress, and individual differences, Human Performance: Cognition, Stress, and Individual Differences, Hove: Psychology Press, ISBN 978-0-415-04406-6, tr. 48
  82. ^ Welford, A.T. (1968), Fundamentals of skill, London: Methuen, ISBN 978-0-416-03000-6, OCLC 219156, tr. 61
  83. ^ Fitts, Paul M. (tháng 6 năm 1954), “The information capacity of the human motor system in controlling the amplitude of movement” (PDF), Journal of Experimental Psychology, 47 (6): 381–91, doi:10.1037/h0055392, PMID 13174710, Bản gốc (PDF) tàng trữ ngày 7 mon 10 năm 2020, truy vấn ngày 7 mon 10 năm 2020, in lại nhập Fitts, Paul M. (1992), “The information capacity of the human motor system in controlling the amplitude of movement” (PDF), Journal of Experimental Psychology: General, 121 (3): 262–69, doi:10.1037/0096-3445.121.3.262, PMID 1402698, truy vấn ngày 19 mon 6 năm 2020
  84. ^ Banerjee, J.C. (1994), Encyclopaedic dictionary of psychological terms, New Delhi: M.D. Publications, tr. 304, ISBN 978-81-85880-28-0, OCLC 33860167
  85. ^ Nadel, Lynn (2005), Encyclopedia of cognitive science, New York: John Wiley & Sons, ISBN 978-0-470-01619-0, té đề Psychophysics và Perception: Overview
  86. ^ Siegler, Robert S.; Opfer, John E. (2003), “The Development of Numerical Estimation. Evidence for Multiple Representations of Numerical Quantity” (PDF), Psychological Science, 14 (3): 237–43, doi:10.1111/1467-9280.02438, PMID 12741747, Bản gốc (PDF) tàng trữ ngày 17 mon 5 năm 2011, truy vấn ngày 19 mon 6 năm 2020
  87. ^ Dehaene, Stanislas; Izard, Véronique; Spelke, Elizabeth; Pica, Pierre (2008), “Log or Linear? Distinct Intuitions of the Number Scale in Western and Amazonian Indigene Cultures”, Science, 320 (5880): 1217–20, Bibcode:2008Sci...320.1217D, doi:10.1126/science.1156540, PMC 2610411, PMID 18511690
  88. ^ Breiman, Leo (1992), Probability, Classics in applied mathematics, Philadelphia: Society for Industrial and Applied Mathematics, ISBN 978-0-89871-296-4, mục 12.9
  89. ^ Aitchison, J.; Brown, J.A.C. (1969), The lognormal distribution, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-04011-2, OCLC 301100935
  90. ^ Mathieu, Jean; Scott, Julian (2000), An introduction to tướng turbulent flow, Cambridge University Press, tr. 50, ISBN 978-0-521-77538-0
  91. ^ Rose, Colin; Smith, Murray D. (2002), Mathematical statistics with Mathematica, Springer texts in statistics, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95234-5, mục 11.3
  92. ^ Tabachnikov, Serge (2005), Geometry and Billiards, Providence, RI: American Mathematical Society, tr. 36–40, ISBN 978-0-8218-3919-5, mục 2.1
  93. ^ Durtschi, Cindy; Hillison, William; Pacini, Carl (2004), “The Effective Use of Benford's Law in Detecting Fraud in Accounting Data” (PDF), Journal of Forensic Accounting, V: 17–34, Bản gốc (PDF) tàng trữ ngày 29 mon 8 năm 2017, truy vấn ngày 19 mon 6 năm 2020
  94. ^ Wegener, Ingo (2005), Complexity theory: exploring the limits of efficient algorithms, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-21045-0, tr. 1–2
  95. ^ Harel, David; Feldman, Yishai A. (2004), Algorithmics: the spirit of computing, New York: Addison-Wesley, ISBN 978-0-321-11784-7, tr. 143
  96. ^ Knuth, Donald (1998), The Art of Computer Programming, Reading, MA: Addison-Wesley, ISBN 978-0-201-89685-5, mục 6.2.1, tr. 409–426
  97. ^ Knuth 1998, tr. 158–168, mục 5.2.4
  98. ^ Wegener, Ingo (2005), Complexity theory: exploring the limits of efficient algorithms, Berlin, New York: Springer-Verlag, tr. 20, ISBN 978-3-540-21045-0
  99. ^ Mohr, Hans; Schopfer, Peter (1995), Plant physiology, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-58016-4, chương 19, tr. 298
  100. ^ Eco, Umberto (1989), The open work, Harvard University Press, ISBN 978-0-674-63976-8, mục III.I
  101. ^ Sprott, Julien Clinton (2010), “Elegant Chaos: Algebraically Simple Chaotic Flows”, Elegant Chaos: Algebraically Simple Chaotic Flows. Edited by Sprott Julien Clinton. Published by World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd, New Jersey: World Scientific, Bibcode:2010ecas.book.....S, doi:10.1142/7183, ISBN 978-981-283-881-0, mục 1.9
  102. ^ Helmberg, Gilbert (2007), Getting acquainted with fractals, De Gruyter Textbook, Berlin, New York: Walter de Gruyter, ISBN 978-3-11-019092-2
  103. ^ Wright, David (2009), Mathematics and music, Providence, RI: AMS Bookstore, ISBN 978-0-8218-4873-9, chương 5
  104. ^ Bateman, P..T.; Diamond, Harold G. (2004), Analytic number theory: an introductory course, New Jersey: World Scientific, ISBN 978-981-256-080-3, OCLC 492669517, ấn định lý 4.1
  105. ^ Bateman & Diamond 2004, ấn định lý 8.15
  106. ^ Slomson, Alan B. (1991), An introduction to tướng combinatorics, London: CRC Press, ISBN 978-0-412-35370-3, chương 4
  107. ^ Ganguly, S. (2005), Elements of Complex Analysis, Kolkata: Academic Publishers, ISBN 978-81-87504-86-3, Định nghĩa 1.6.3
  108. ^ Nevanlinna, Rolf Herman; Paatero, Veikko (2007), “Introduction to tướng complex analysis”, London: Hilger, Providence, RI: AMS Bookstore, Bibcode:1974aitc.book.....W, ISBN 978-0-8218-4399-4, mục 5.9
  109. ^ Moore, Theral Orvis; Hadlock, Edwin H. (1991), Complex analysis, Singapore: World Scientific, ISBN 978-981-02-0246-0, mục 1.2
  110. ^ Wilde, Ivan Francis (2006), Lecture notes on complex analysis, London: Imperial College Press, ISBN 978-1-86094-642-4, ấn định lý 6.1.
  111. ^ Higham, Nicholas (2008), Functions of Matrices. Theory and Computation, Philadelphia, PA: SIAM, ISBN 978-0-89871-646-7, chương 11.
  112. ^ Neukirch, Jürgen (1999), Algebraic Number Theory, Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, 322, Berlin: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-65399-8, mục II.5.
  113. ^ Hancock, Edwin R.; Martin, Ralph R.; Sabin, Malcolm A. (2009), Mathematics of Surfaces XIII: 13th IMA International Conference York, UK, September 7–9, 2009 Proceedings, Springer, tr. 379, ISBN 978-3-642-03595-1
  114. ^ Stinson, Douglas Robert (2006), Cryptography: Theory and Practice (ấn bạn dạng 3), London: CRC Press, ISBN 978-1-58488-508-5
  115. ^ Lidl, Rudolf; Niederreiter, Harald (1997), Finite fields, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-39231-0
  116. ^ Corless, R.; Gonnet, G.; Hare, D.; Jeffrey, D.; Knuth, Donald (1996), “On the Lambert W function” (PDF), Advances in Computational Mathematics, 5: 329–59, doi:10.1007/BF02124750, ISSN 1019-7168, Bản gốc (PDF) tàng trữ ngày 14 mon 12 năm 2010, truy vấn ngày đôi mươi mon 6 năm 2020
  117. ^ Cherkassky, Vladimir; Cherkassky, Vladimir S.; Mulier, Filip (2007), Learning from data: concepts, theory, and methods, Wiley series on adaptive and learning systems for signal processing, communications, and control, New York: John Wiley & Sons, ISBN 978-0-471-68182-3, tr. 357
  118. ^ Bourbaki, Nicolas (1998), General topology. Chapters 5–10, Elements of Mathematics, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-64563-4, MR 1726872, mục V.4.1
  119. ^ Ambartzumian, R.V. (1990), Factorization calculus and geometric probability, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-34535-4, mục 1.4
  120. ^ Lothaire, M. (2005), Applied Combinatorics on Words, Encyclopedia of Mathematics and Its Applications, 105, Cambridge: Cambridge University Press, tr. 211, ISBN 0-521-84802-4, Zbl 1133.68067
  121. ^ Esnault, Hélène; Viehweg, Eckart (1992), Lectures on vanishing theorems, DMV Seminar, 20, Basel, Boston: Birkhäuser Verlag, doi:10.1007/978-3-0348-8600-0, ISBN 978-3-7643-2822-1, MR 1193913, mục 2
  122. ^ Apostol, T.M. (2010), “Logarit”, nhập Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (biên tập), NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, ISBN 978-0521192255, MR2723248

Liên kết ngoài[sửa | sửa mã nguồn]

Wikimedia Commons đạt thêm hình hình họa và phương tiện đi lại truyền đạt về Logarit.
  • Logarithm (mathematics) bên trên Encyclopædia Britannica (tiếng Anh)
  • Lôga bên trên Từ điển bách khoa Việt Nam
  • Hàm lôga bên trên Từ điển bách khoa Việt Nam
  • Weisstein, Eric W., "Logarithm" kể từ MathWorld.
  • Khan Academy: Logarithms, không lấy phí online micro lectures
  • Hazewinkel, Michiel chỉnh sửa (2001), “Logarithmic function”, Bách khoa toàn thư Toán học, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4
  • Edward Wright, Translation of Napier's work on logarithms, Bản gốc tàng trữ ngày 3 mon 12 năm 2002, truy vấn ngày 19 mon 6 năm 2020
  • Glaisher, James Whitbread Lee (1911). “Logarithm” . Trong Chisholm, Hugh (biên tập). Encyclopædia Britannica. 16 (ấn bạn dạng 11). Cambridge University Press. tr. 868–77.