Lý thuyết các hệ thức lượng trong tam giác và giải tam giác

Nhắc lại hệ thức lượng vô tam giác vuông.

Cho tam giác $ABC$ vuông góc bên trên đỉnh $A$ ($\widehat{A} = 90^0$), tao có:

Bạn đang xem: Lý thuyết các hệ thức lượng trong tam giác và giải tam giác | SGK Toán lớp 10

1. ${b^2} = ab';{c^2} = a.c'$

2. Định lý Pitago : ${a^2} = {b^2} + {c^2}$

3. $a.h = b.c$

4. $h^2= b’.c’$

5. $\dfrac{1}{h^{2}}$ = $\dfrac{1}{b^{2}}$ + $\dfrac{1}{c^{2}}$

1. Định lý cosin

Định lí: Trong một tam giác bất kì, bình phương một cạnh vì thế tổng những bình phương của nhì cạnh còn sót lại trừ chuồn nhì thứ tự tích của nhì cạnh cơ nhân với $cosin$ của góc xen thân ái bọn chúng.

Ta sở hữu những hệ thức sau:

$$\eqalign{
& {a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc.\cos A \, \, (1) \cr
& {b^2} = {a^2} + {c^2} - 2ac.\cos B \, \, (2) \cr
& {c^2} = {a^2} + {b^2} - 2ab.\cos C \, \, (3) \cr} $$

Hệ trái ngược của quyết định lí cosin:

$\cos A = \dfrac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}$

$\cos B = \dfrac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2ac}$

$\cos C = \dfrac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}$

Áp dụng: Tính chừng nhiều năm đàng trung tuyến của tam giác:

Cho tam giác $ABC$ sở hữu những cạnh $BC = a, CA = b$ và $AB = c$. Gọi $m_a,m_b$ và $m_c$ là chừng nhiều năm những đàng trung tuyến thứu tự vẽ kể từ những đỉnh $A, B, C$ của tam giác. Ta có

${m_{a}}^{2}$ = $\dfrac{2.(b^{2}+c^{2})-a^{2}}{4}$

${m_{b}}^{2}$ = $\dfrac{2.(a^{2}+c^{2})-b^{2}}{4}$

${m_{c}}^{2}$ = $\dfrac{2.(a^{2}+b^{2})-c^{2}}{4}$

2. Định lí sin

Định lí: Trong tam giác $ABC$ ngẫu nhiên, tỉ số thân ái một cạnh và sin của góc đối lập với cạnh cơ vì thế 2 lần bán kính của đàng tròn trặn nước ngoài tiếp tam giác, nghĩa là

$\dfrac{a}{\sin A}= \dfrac{b}{\sin B} = \dfrac{c}{\sin C} = 2R$

với $R$ là nửa đường kính đàng tròn trặn nước ngoài tiếp tam giác

Xem thêm: Những stt cuối tuần vui vẻ, ý nghĩa, nạp năng lượng

Công thức tính diện tích S tam giác

Diện tích $S$ của tam giác $ABC$ được xem theo đòi một trong những công thức sau

$S = \dfrac{1}{2} ab \sin C= \dfrac{1}{2} bc \sin A $ $= \dfrac{1}{2}ca \sin B \, \,(1)$

$S = \dfrac{abc}{4R}\, \,(2)$

$S = pr\, \,(3)$

$S = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}$ (công thức Hê - rông) $(4)$

Trong đó:$BC = a, CA = b$ và $AB = c$; $R, r$ là nửa đường kính đàng tròn trặn nước ngoài tiếp, bk đàng tròn trặn nội tiếp và $S$ là diện tích S tam giác cơ.

3. Giải tam giác và phần mềm vô việc đo đạc

Giải tam giác : Giải tam giác là đi kiếm những nguyên tố (góc, cạnh) chưa chắc chắn của tam giác khi tiếp tục biết một vài nguyên tố của tam giác cơ.

Muốn giải tam giác tao cần thiết thám thính nguyệt lão contact trong những góc, cạnh tiếp tục mang đến với những góc, những cạnh chưa chắc chắn của tam giác trải qua những hệ thức và được nêu vô quyết định lí cosin, quyết định lí sin và những công thức tính diện tích S tam giác.

Các việc về giải tam giác: Có 3 việc cơ bạn dạng về gỉải tam giác:

a) Giải tam giác lúc biết một cạnh và nhì góc.

=> Dùng quyết định lí sin nhằm tính cạnh còn sót lại.

b) Giải tam giác lúc biết nhì cạnh và góc xen giữa

=> Dùng quyết định lí cosin nhằm tính cạnh loại thân phụ.

Sau cơ người sử dụng hệ trái ngược của quyết định lí cosin nhằm tính góc.

c) Giải tam giác lúc biết thân phụ cạnh

Đối với việc này tao dùng hệ trái ngược của quyết định lí cosin nhằm tính góc:

$\cos A = \dfrac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}$

$\cos B = \dfrac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2ac}$

$cos C = \dfrac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}$

Chú ý:

Xem thêm: Hướng Dẫn Rút Tiền Jun88 Chỉ Trong 2 Phút Nhanh Chóng Nhất

1. Cần cảnh báo là 1 trong tam giác giải được khi tao biết 3 nguyên tố của chính nó, vô cơ cần sở hữu tối thiểu một nguyên tố chừng nhiều năm (tức là nguyên tố góc ko được quá 2)

2. Việc giải tam giác được dùng vô những việc thực tiễn, nhất là những việc đo lường.