9 bài chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn

9 bài bác CHỨNG MINH TỨ GIÁC NỘI TIẾP ĐƯỜNG TRÒN
I. KIẾN THỨC CƠ BÀN:
* Định nghĩa: 
Tứ giác nội tiếp vô một lối tròn trặn là tứ giác với tư đỉnh phía trên lối tròn trặn.
Dấu hiệu nhận thấy tứ giác nội tiếp được vô một lối tròn:
1/ Nếu một tứ giác với tổng số đo nhì góc đối vì chưng thì tứ giác cơ nội tiếp được vô một lối tròn trặn.
2/: Tứ giác với góc ngoài bên trên một đỉnh vì chưng góc vô bên trên đỉnh đối của đỉnh cơ thì nội tiếp được vô một lối tròn trặn.
3/: Tứ giác với 4 đỉnh cơ hội đều một điểm ( nhưng mà tớ hoàn toàn có thể xác lập được). Điểm này đó là tâm lối tròn trặn nước ngoài tiếp tứ giác.
4/: Tứ giác với nhì đỉnh kề nhau nằm trong nom cạnh chứa chấp nhì đỉnh còn sót lại bên dưới một góc (an-pha) thì nội tiếp được vô một lối tròn trặn.
II. Một số Việc luyện tập:
1/ Dạng vận dụng tín hiệu 1 & 4
* Bài 1: Cho tam giác ABC vuông bên trên A ( AB< AC ) nội tiếp vô lối tròn trặn tâm I; nửa đường kính r. Gọi Phường là trung điểm của AC; AH là lối cao của tam giác ABC.
a/ Chứng minh tứ giác APIH nội tiếp được vô lối tròn trặn tâm K. Xác tấp tểnh tâm K của lối tròn trặn này.
b/ Chứng minh hai tuyến đường tròn trặn ( I ) và ( K ) xúc tiếp nhau.
*Gợi ý:
a/ Dựa vô tín hiệu 1 nhằm minh chứng APIH nội tiếp được vô một lối tròn: 
- Xác tấp tểnh tâm K lối tròn trặn nước ngoài tiếp tứ giác APIH: Điểm Phường nom đoạn trực tiếp AI bên dưới một góc vuông nên Phường nằm trong lối tròn trặn 2 lần bán kính AI. Chứng minh tương tự động so với điểm H. Từ cơ xác lập được tâm K ( là trung điểm đoạn AI ).
( HS cần thiết cầm lại Kết luận sau: Quỹ tích những điểm nom đoạn trực tiếp AB bên dưới một góc vuông là lối tròn trặn 2 lần bán kính AB – SGK lớp 9/ luyện 2 trang 85)
b/ Nhắc lại kiến thức và kỹ năng về hai tuyến đường tròn trặn xúc tiếp nhau:
- Hai lối tròn trặn nằm trong trải qua chỉ có một điểm có một không hai thì bọn chúng xúc tiếp với nhau; hoặc TX vô, hoặc TX ngoài.
- Tiếp xúc ngoài nếu như khoảng cách nhì tâm vì chưng tổng nhì nửa đường kính. OO’ = R + r
- Tiếp xúc vô nếu như khoảng cách nhì tâm vì chưng hiệu nhì nửa đường kính. OO’ = R – r> 0 
- Tính IK nhằm Kết luận 2 lối tròn trặn (I) và ( K ) xúc tiếp vô bên trên A.
Bài 2: 
Cho lối tròn trặn tâm O, 2 lần bán kính AB thắt chặt và cố định. Điểm I nằm trong lòng A và O sao mang đến AI = IO. 
Kẻ thừng MN ^AB bên trên I. Gọi C là 1 trong điểm tùy ý nằm trong cung rộng lớn MN sao mang đến C ko trùng với M, N và B. Nối AC, hạn chế MN bên trên E.
a/ Chứng minh tứ giác IECB nội tiếp được trong một lối tròn trặn. Xác tấp tểnh tâm lối tròn trặn này.
b/ Chứng minh tam giác AME đồng dạng với tam giác ACM. 
 Gợi ý:
 a/ Chứng minh tương tự động câu a ở bài bác 1 bên trên. (Góc Ngân Hàng Á Châu chắn đườngkính AB; MI^AB) 
 Tâm lối vô nội tiép IECB ở bên trên trung điểm EB
Câu b/ Hai TG cơ với công cộng góc A, góc AME và ACM chắn 2 cung AM = cung AN
* Bài 3: 
Cho tam giác ABC cân nặng bên trên A ( ). Đường vuông góc với AB bên trên A hạn chế đường thẳng liền mạch BC bên trên E. Kẻ EN AC. Gọi M là trung điểm của BC. Hai đường thẳng liền mạch AM và EN hạn chế nhau bên trên F.
a/ Chứng minh những tứ giác MCNF và AMNE nội tiếp được vô lối tròn trặn. Xác tấp tểnh tâm những lối tròn trặn này.
b/ Chứng minh EB là phân giác của góc AEF.
 Gợi ý:
a/ Dựa vô tín hiệu 1 nhằm ch.minh MCNF và phụ thuộc vào tín hiệu 4 nhằm minh chứng AMNE nội tiếp.
- Tứ giác MCNF với góc M=gócN =gócvuông - Góc M và góc N nằm trong chắn AB à Trung điểmAB là tâm ĐT nước ngoài tiếp
b/ Chứng minh 2 tamgiác vuông AME và FME đều bằng nhau bởi EM công cộng, minh chứng thêm thắt AM = MF
Bài 4: 
Cho lối tròn trặn ( O;R) và đường thẳng liền mạch xy cơ hội tâm O một khoảng chừng OK= a ( 0 R ), vẽ nhì tiếp tuyến AB và AC cho tới lối tròn trặn (O) ( B, C là những tiếp điểm; O và B ở nằm trong phía với xy)
a/ Chứng minh đường thẳng liền mạch xy hạn chế lối tròn trặn ( O) bên trên nhì điểm D và E.
b/ Chứng minh 5 điểm O, A, B, C, K nằm trong phía trên một lối tròn trặn. Xác tấp tểnh tâm của lối tròn trặn này.
c/ BC hạn chế OA và OK bám theo trật tự bên trên M và S. Chứng minh tứ giác AMKS nội tiếp được vô một lối tròn trặn.
Gợi ý:
* Câu a: Hiển nhiên vì như thế OK < R
*Câu b: phụ thuộc vào tín hiệu 1 nhằm minh chứng 5 điểm nằm trong lối tròn trặn. 
- lõi OB và OC là những nửa đường kính lối tròn trặn phó với tiếp tuyến nên OB AB; OC AC.
- OK^AK Theo phong cách dựng của GT
* Câu c: phụ thuộc vào tín hiệu 4 nhằm hội chứng minh:
Góc AKS vuông và góc AMS vuông ( Theo phong cách dựng) nằm trong nom cạnh AS của tứ giác AMKS nai lưng vậy này đó là tứgiác nội tiếp.
Bài 5: 
Từ một điểm A ngoài lối tròn trặn (O), kẻ những tiếp tuyến AB, AC với lối tròn trặn ( B, C là những tiếp điểm). Trên tia đối của tia BC, lấy điểm D. Gọi E là phó điểm của DO và AC. Qua E, vẽ tiếp tuyến loại nhì với lối tròn trặn (O), với tiếp điểm là M; tiếp tuyến này hạn chế đường thẳng liền mạch AB ở K. 
a/ Chứng minh tư điểm D, B, O, M nằm trong lệ thuộc một lối tròn trặn.
b/ Chứng minh D, B, O, M, K nằm trong lệ thuộc một lối tròn trặn.
Gợi ý: Đọc kĩ đề vẽ hình đích à
* Câu a/ 
- So sánh góc MOE và góc MBC.
- So sánh góc MOD và góc MBD
- Hai điểm O và B nằm trong nom đoạn trực tiếp DM bên dưới một góc đều bằng nhau.Þ tứ giác DBOM?
* Câub/ Chứng minh B, O, M, K nằm trong lệ thuộc một lối tròn trặn ( tín hiệu 1) vì như thế 2 nửa đường kính OM^MKvà OB^BK. èkết luận 5 điểm B, O, M, K, D nằm trong lệ thuộc một lối tròn trặn.
Bài luyện áp dụng tín hiệu 2 
(Tứ giác với góc ngoài bên trên một đỉnh vì chưng góc vô bên trên đỉnh đối của đỉnh cơ thì nội tiếp được vô một lối tròn trặn.)
Bài 6: 
Cho tam giác ABC cân nặng bên trên A và nội tiếp vô lối tròn trặn tâm O; 2 lần bán kính AI. Gọi E là trung điểm của AB ;K là trung điểm của OI; H là trung điểm của EB.
a/Chứng minh HK EB
b/ Chứng minh tứ giác AEKC nội tiếp được vô một lối tròn trặn.
 Gợi ý:
* Câu a/ 
- ÐB chắn 2 lần bán kính AI  Þ ÐB vuông
- OE ^AB Þ HK là lối tầm của hình thang EBOI, kể từ cơ Kết luận HK^ EB
*Câu b/ 
- Chứng minh ∆EKB cân nặng bên trên K Þ BEK = EBK (1)
- Chứng minh ÐEBK = ÐKCA bởi ∆KCB cân nặng (2) 
- Từ (1) và (2)  Þ ÐBEK là góc ngoài bên trên đỉnh E của tứ giác AEKC vì chưng ÐACK ( là góc bên trên đỉnh đối của đỉnh E). èAEKC nội tiếp được vô lối tròn trặn.
Bài 7: 
Cho nửa lối tròn trặn tâm I, 2 lần bán kính MN. Kẻ tiếp tuyến Nx và lấy điểm Phường tại chính giữa nửa lối tròn trặn. Trên cung PN, lấy điểm Q ( ko trùng với Phường, N ). Các tia MP và MQ hạn chế tiếp tuyến NX bám theo trật tự bên trên S và T.
a/ Chứng minh NS = MN.
b/ Chứng minh tam giác MNT đồng dạng với tam giác NQT.
c/ Chứng minh tứ giác PQTS nội tiếp được vô một lối tròn trặn.
 Gợi ý:
a/ Điểm Phường ở tại chính giữa nửa lối tròn
 à Ð MPN vuông à ÐPMN = 450 à PNS = 450
è∆MNS là tam giác vuông cân nặng 
è MN = N S (điều cần thiết hội chứng minh).
b/ Vì NQT vuông nên 2 tam giác MNT và NTQ là 2 tam giác vuông đồng dạng ( góc - góc) 
c/ Kẻ tiếp tuyến PH , àPH^ NS tớ với những tam giác vuông cân nặng và những góc đều bằng nhau = 45o như hình vẽ 
Chứng minh được T1 = S + M2 = S + P2 + P2 
è ( phụ thuộc vào tín hiệu 2) nai lưng ĐPCM
Bài 8: 
Cho tam giác ABC vuông bên trên A. Nửa lối tròn trặn 2 lần bán kính AB hạn chế BC bên trên D. Trên cung AD lấy một điểm E. Nối BE và kéo dãn dài hạn chế AC bên trên F.
Chứng minh CDEF là 1 trong tứ giác nội tiếp.
Gợi ý:
* Cách 1: Chứng minh tương tự động bài bác 7 Phần b.
* Cách 2: Để dễ dàng bám theo dõi tớ viết số những góc 1,2,3 và bôi color những góc đều bằng nhau như hình mặt mày à
 ÐA1 = ÐB1 (góc của 2 ∆ vuông đồng dạng);
ÐA2 = ÐB2 (vì nằm trong chắn cung ED);
 ÐB1 = ÐD1 ( nằm trong ngán cung AE)
 Þ ÐB1 =ÐA1 = ÐD1;
 ÐF2 và ÐB1 phụ nhau Þ ÐF2 và ÐD1 phụ nhau; 
 nhưng mà ÐD2 và ÐD1 cũng phụ nhau nai lưng Do cơ ÐF2 = ÐD2 Þ ÐF1 + ÐD2 = 2v (ĐPCM)
3/Bài luyện áp dụng tín hiệu 3:
Bài 9: 
Cho lối tròn trặn tâm O. Kẻ 2 lần bán kính AB và CD vuông góc cùng nhau. Gọi E là vấn đề tại chính giữa cung nhỏ CB. EA hạn chế CD bên trên F; ED hạn chế AB bên trên M.
a/ Các tam giác CEF và EMB là những tam giác gì?
b/ Chứng minh tư điểm D, C, M, B nằm trong lối tròn trặn tâm E.
Gợi ý:
Câu a: Góc CEF là góc với đỉnh nằm bên cạnh vô lối tròn; góc FCE là góc nội tiếp chắn cung ED. Lập những biểu thức về số đo những góc cơ, đối chiếu giúp thấy 2 góc cơ đều bằng nhau. Kết luận tam giác CEF là tam giác Cân.
- Chứng minh tương tự động so với tam giác EMB.
* Câu b: Từ câu bên trên suy đi ra EC = EB = EF = EM. 
Dựa vô lốt hiểu 3 Kết luận điều nên minh chứng.
PHH st Bổ sung hình và chỉnh lí theoTLcủa Trần Văn Thọ 11/2015