Trọng tâm là gì? Tính chất trọng tâm tam giác

Trọng tâm tam giác là một trong những nhập số kỹ năng và kiến thức cần thiết được học tập kể từ lớp 7. Vậy trọng tâm là gì? Cách xác lập trọng tâm tam giác như vậy nào? Mời chúng ta nằm trong bám theo dõi nội dung bài viết sau đây của Download.vn.

Trong bài học kinh nghiệm thời điểm hôm nay Cửa Hàng chúng tôi tiếp tục reviews cho tới chúng ta học viên toàn cỗ kỹ năng và kiến thức về trọng tâm tam giác, đặc thù trọng tâm tam giác tất nhiên một số trong những dạng bài xích luyện sở hữu đáp án giải cụ thể tất nhiên. Hi vọng phía trên được xem là mối cung cấp tư liệu hữu ích, chung những em gia tăng khả năng giải toán nhằm đạt được thành phẩm cao trong những bài xích đánh giá, bài xích ganh đua sắp tới đây. Ngoài ra chúng ta coi thêm thắt Các tình huống cân nhau của nhị tam giác.

Bạn đang xem: Trọng tâm là gì? Tính chất trọng tâm tam giác

1. Định nghĩa Trọng tâm tam giác

Trọng tâm của tam giác là giao phó điểm của phụ thân lối trung tuyến của tam giác đó

Theo sách giáo khoa hiện tại hành, từ thời điểm năm học tập lớp 7 học viên đang được xúc tiếp với trọng tâm. Định nghĩa trọng tâm được sách giáo khoa ghi lại như sau: “Trong 1 tam giác sở hữu 3 lối trung tuyến. 3 lối trung tuyến này nằm trong trải qua một điểm, điểm đó được gọi là trọng tâm của tam giác”.

Ví dụ: tam giác ABC với 3 lối trung tuyến thứu tự là AM, BN, CP. 3 lối trung tuyến của tam giác ABC này thứu tự trải qua giao phó điểm G. G đó là trọng tâm của tam giác ABC.

Tam giác ABC sở hữu những lối trung tuyến AM, BN, CP nằm trong trải qua G.

Điểm G gọi là trọng tâm tam giác ABC.

2. Tính hóa học trọng tâm tam giác

Tính hóa học của trọng tâm tam giác là: Khoảng cơ hội kể từ trọng tâm cho tới 3 đỉnh của tam giác vị 2/3 phỏng nhiều năm lối trung tuyến ứng với đỉnh tê liệt.

Giả sử, tam giác ABC sở hữu 3 lối trung tuyến là AM, BN, CP với G là trọng tâm như hình. Theo đặc thù bên trên, tao có:

Tam giác ABC sở hữu G là trọng tâm

Khi tê liệt, tao có:

$G A=\frac{2}{3} A M ; G B=\frac{2}{3} B N ; G C=\frac{2}{3} C P$

Ví dụ: Cho tam giác ABC sở hữu trọng tâm G. lõi AM là lối trung tuyến với M nằm trong cạnh BC và AM = 12cm. Tính phỏng nhiều năm đoạn AG và GM?

Ngoài đi ra, tất cả chúng ta còn một số trong những hằng đẳng thức không giống tương quan cho tới trọng tâm tam giác. Xét bám theo hướng nhìn, điểm G phân chia từng lối trung tuyến trở thành 3 phần cân nhau.

- Đối với lối trung tuyến AM, tao có:

AM = 3 GM; AM = $\frac{3}{2}$ AG; AG = 2 GM; GM = $\frac{1}{2}$ AG,…

- Đối với lối trung tuyến BN, tao có:

BN = 3 GN; BN = $\frac{3}{2}$ BG; BG = 2 GN; GN = $\frac{1}{2}$ BG,…

- Đối với lối trung tuyến CP, tao có:

CP = 3 GP; CP = $\frac{3}{2}$ CG; CG = 2 GP; GP = $\frac{1}{2}$ CG,…

3. Cách xác lập trọng tâm tam giác

Để xác lập trọng tâm của một tam giác tao thực hiện:

Cách 1:

Tìm trung điểm M của BC sao mang lại MC = MB
Nối A với M tao được lối trung tuyến AM.
Tương tự động với những lối trung tuyến còn sót lại.
Giao 3 lối trung tuyến là vấn đề G. Suy đi ra G đó là trọng tâm tam giác ABC.

Cách 2:

Tìm trung điểm M của BC sao mang lại MC = MB
Nối A với M tao được lối trung tuyến AM.
Trên đoạn trực tiếp AM lấy điểm G sao cho: $AG\ =\ \frac{2}{3}AM$
Vậy bám theo đặc thù trọng tâm tao sở hữu G đó là trọng tâm tam giác ABC.

Cho tam giác ABC sở hữu AM, BN, CP thứu tự là phụ thân lối trung tuyến bên trên đỉnh A, B, C. Ta sở hữu giao phó của phụ thân lối trung tuyến là vấn đề G. Vậy G là trọng tâm của tam giác ABC.

Ta sở hữu tính chất:

$\overrightarrow{AG}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AM} \Rightarrow AG=\dfrac{2}{3} AM$

$\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}$

4. Trọng tâm của những hình học tập đặc biệt

A. Trọng tâm tam giác vuông

Tam giác ABC vuông bên trên B, kể từ B vẽ lối trung tuyến BA, vì như thế BA là lối trung tuyến của góc vuông nên: BA = 50% CD=AD = AC.

Vậy tam giác ADB và tam giác ABC thứu tự cân nặng bên trên A,

B. Trọng tâm tam giác cân

Cho tam giác ABC cân nặng bên trên A, G là trọng tâm tam giác ABC. Vì tam giác cân nặng bên trên A, nên AG một vừa hai phải là lối trung tuyến, một vừa hai phải là lối cao và là lối phân giác của tam giác ABC.

Hệ quả:

$- \widehat{BAG}=\widehat {CAG}$

- AG vuông góc với BC.

C. Trọng tâm tam giác đều

Xem thêm: Cách Xác Định Vị Trí Hiện Tại Của Tôi Và Chia Sẻ Nó Cho Người Khác

Cho tam giác ABC đều, G là giao phó điểm phụ thân lối trung tuyến. Theo đặc thù của tam giác đều tao sở hữu G một vừa hai phải là trọng tâm, trực tâm, tâm lối tròn trĩnh nước ngoài tiếp và nội tiếp của tam giác ABC.

D. Trọng tâm tứ diện

Ta sở hữu G là trọng tâm tứ diện ABCD.

Trọng tâm tứ diện là giao phó điểm của tứ đường thẳng liền mạch nối đỉnh và trọng tâm của tam giác đối lập.

5. Bài luyện trọng tâm của tam giác

Bài luyện 1: Cho tam giác ABC, trung tuyến BM = công nhân. BM hạn chế công nhân bên trên G. Chứng minh tam giác ABC cân nặng bên trên A

Lời giải:

Vì BM và công nhân là hai tuyến phố TT của tam giác nhưng mà BM giao phó công nhân bên trên G, nên tao có:

$\dfrac{BG}{BM}=\dfrac{CG}{CN}=\dfrac{2}{3}$

Mà BM = công nhân nên BG = công nhân và GN = GM

Xét ∇ BNG và $\Delta CGM$ tao có:

BG = CN

GN = GM

$\widehat{BGN}= \widehat{CGM}$ ( 2 góc đối đỉnh)

Suy đi ra : $\Delta$ BNG đồng dạng $\Delta$ CMG

Suy ra: BN = CM (1)

mà M và N thứu tự là trung điểm của AB và AC (2)

Từ (1) và (2) tao sở hữu AB = AC => Tam giác ABC cân nặng bên trên A( đpcm).

Bài luyện 2

Cho I là trọng tâm của tam giác đều MNP. Chứng minh rằng: IM = IN = IP.

Lời giải:

Vẽ hình:

Gọi trung điểm MN, MP, PN thứu tự là R, O, S.

Khi tê liệt MS, quảng bá, NO đồng quy bên trên trọng tâm I.

Ta sở hữu ∆MNP đều, suy ra:

MS = quảng bá = NO (1).

Vì I là trọng tâm của ∆ABC nên bám theo đặc thù lối trung tuyến:

MI = 2/3 MS, PI = 2/3 quảng bá, NI = 2/3 NO (2).

Từ (1) , (2) ⇒ GA = GB = GC.

Bài luyện 3: Tam giác ABC sở hữu trung tuyến AD = 9cm và trọng tâm I. Tính phỏng nhiều năm đoạn AI?

Lời giải

Vẽ hình minh họa

Ta sở hữu I là trọng tâm của tam giác ABC và AD là lối trung tuyến nên AI = (2/3) AD (theo đặc thù phụ thân lối trung tuyến của tam giác).

Xem thêm: 50+ Cách tạo dáng chụp ảnh với hoa cực kỳ NỮ TÍNH

Do đó: AG = (2/3).9 = 6 (cm).

Vậy đoạn AI có tính nhiều năm 6 centimet.

Như vậy, với những kỹ năng và kiến thức cơ phiên bản và bài xích luyện rèn luyện thích nghi thưa bên trên, Download.vn hy vọng độc giả đang được sở hữu cho chính mình sự nắm vững chắc chắn về trọng tâm. Nắm vững vàng những kỹ năng và kiến thức về trọng tâm nhằm rất có thể giải những bài xích luyện hình học tập kể từ cơ phiên bản cho tới nâng lên.